Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
U = 0 на (24)
где Lc - контур поперечного сечения сплошного стержня.
Пусть поперечное сечение стержня представляет собой многосвы-ную область
(рис. 3), т. е. контур L*, ограничивающий поперечное сечение стержня,
будет состоять из нескольких замкнутых контуров L2, . . Ln, охваченных
внешним контуром L". В этом случае функция напряжений U (х, у) на
контурах Ц (t = 0, 1, .... п) поперечного сечения будет иметь постоянные,
но, вообще говоря, различные значения
U = U, на Li (i = О, I л).
(25)
где L'i - значение функции напряжений U (х, у) на контуре Li.
Из всех этих постоянных Ui можно выбрать произвольно только одну,
например Уц = 0. остальные следует определить из cooiношений
dU
дп
ds - - 2?2,- (/ =1.2,..., я),
(2S)
которые должны выполняться для каждого из внутренних контуров I,-. Здесь
Q,- - площадь области, ограниченной контуром Li- Соотношения (26)
представляют собой аналитическое выражение теоремы Р Бредта о циркуляции
касательного напряжения при кручении, вывод которой см. на стр. 245.
2И
Кручение стержней
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
На основании равенства нулю напряжений о*. ау, ог н хху, мул (19) и из
зависимостей закона Гука имеем
ди dv да'
€хх ~ ~дх ~ ' €уу " а7 ' ' '
дг
ди , дс _ А7+а7-0:
dt'
&
г--()
д(У
ди
Vw - -ЗГ + "
= О
дх
дш I
7Г
дм" I ___
дг дх G 'л w ду Интегрируя первые два уравнения (27). найдем и = и (у,
г), v ~ v (х, г), т. е. перемещение и не зависит от х, а перемещение v -
вании четвертого уравнения (27) и (28) имеем
и = и, (г) - I (г) к|
V = "о (г) + / (*) *. I
где и0 (г). Но (г) и /" (г) - произвольные функции от г, подлежащие
определению в дальнейшем. Подставив значения (29) в пятое и шестое
уравнения (27). получим
е , . г, dU dw
tz)y = ed^-sr-
(27)
(28)
- от у. На осно
(29)
, е . dU дм
(30)
Правые части этих уравнений не зависят от г, так как перемещение w,
согласно третьему уравнению (27), и функции напряжений U (х, у) не
зависят от г. Следовательно, и левые части этих уравнений не должны
зависеть от г, т. е. выполняются следующие равенства:
% (z) - Cj; о0 (г) - С2; f (г) - С3,
(31)
где Clt Сг и Сз - произвольные постоянные, подлежащие определению в
дальнейшем.
Интегрируя уравнения (31), имеем
"о(4= С,г+ и"; )
"%(") = С,г+ ой | (32)
где н0, v0 и fa - постоянные интегрирования. Подставив значения не-личин
из уравнений (32) в выражения (29), получим
и (у, г) = -С3уг 4- Сгг - f0y 4- u0; 1
v (к, г) - С3хг + C2z + /0х + v". j
(33)
Циркуляция касательного напряжении
Для mro чтобы устранить посту нагельные перемещения стержни но
направлениям осей х и у, положим, что некоторая произвольная точка ни его
торце г - 0 закреплена так, что в этой точке и - v - 0 Поместим начало
координат п этой точке и потребуем, чтобы н ней пилюли я-
ди dv hv _
лись еще л слови я - - - -г- О. устраняющие ной "окность
dz дг дх * г вращения стержня как жесткого тела вокруг осей х, у и г. В
этом случае
С| Са = /о = 1<о оп - 0 (34)
и ныраження (33) для перемещений и и v примут вид
и Csyz; v - Слхг. (35)
Но согласно формуле (17) и выражений (35)
т. е. выражения'для перемещений кие окончательно запишем гак: и=-$уг\
о=6хг. (37)
Подставляя значения перемещений из формул (37) н выражения (15) и
учитывая соотношения (19). получим
да) , . ..w г, ___
' ' л# ' (38)
I , \ Dl f dU \
/"¦" Ok )
Умножив первое из уравнений (38) на йх, а второе на dy, сложив эти
произведения и учитывая выражения (22), получим
At = 0 fa dx - xdy) + В ( ± ) t. =
= 0 (у dx -х dy) - 0 ds (39)
Интегрируя это выражение, можем определить перемещение ш, которое будет
зависеть только от координат х и у.
ТЕОРЕМА БРЕДТА О ЦИРКУЛЯЦИИ КАСАТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Пусть L - замкнутая кривая, полностью лежащая в области поперечного
сечения (односвязного или многосвязного) стержня (см рис. 3).
Циркуляцией касателыю10 напряжения называют криволинейный интеграл
I - J. ds,
L
(40)
24в
Кручение стержней
взятый по замкнутой кривой L. Здесь т5г -• составляющая тангенциального
напряжения по напранлению касательной к этой кривой
Ъг = COS SX + Хуг COS sy. (41)
Воспользуясь соотношениями (19) и (22), получим дУ дп
(42)
Подставляя значение т52 из выражений (42) в формулу (40) и учитывая
равенство (39), получим
у - - се (j> л = е (J) <(ш + ее ф (* лу-у <(*> т)
Первый интеграл в правой части этого равенства в случае замкнутого
контура L ввиду однозначности перемещения w обращается в нуль. Второй
интеграл в правой части равняется удвоенной площади П, ограниченной
контуром L:
ф (х dy - у dx) - 2 | j' dx dy - 2Q. (44)
Таким образом из выражений (37) следует §
2G0Q или - 2Й. (15)
Формулы (45) представляют аналитическое выражение теоремы Р. Бредта о
циркуляции касательного напряжения при кручении. Они справедливы и в
случае, когда замкнутый контур L охватывает полости поперечного сечения
стержня. В частности, интегралы в формулах (45) могут быть взяты по
замкнутым контурам Li (i ~ 1,2, . .
. . ., л), являющимся границами области сечения стержня, тик как
