Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 1" -> 75

Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 — М.: Машиностроение, 1968. — 831 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostkolebaniyaustoychivostt11968.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 212 >> Следующая

равнялась нулю:
(?L (Ш, ' <85'
На остальной части контура области ОАВСО функция U (х, у) принимает
значение
(80)
Решая уравнение (20) методом разделения переменных, функцию напряжений U
(х, у) представляем в виде
t'(*. у) = Л-яг+ <2* "¦'* +
' =1
П [2к- I ) Till
~Jcos" Ъ (S7)
+ Bk sh
(2fe- 1)ях
Легко видеть, что второе из условий (86) удовлетворяется тождественно
выражением (87).
Удовлетворив первому из условий (85) и условиям (85). получим
Кручение стержней
Подставляя эти значения в формулы (73), будем иметь
V
ch (2*~ 1) ЛЛ (-!)* ' Ь (2ft- 1)лр ,fiQ
l2fe-ТР ¦ Т (2ft-О л- сте ь- ¦ т
Пользуясь формулой (54) для определения жесткости при кручении сплошного
стержня, которая для нашего случая принимает вид
С - SG \ dx \ U (х, у) dy.
(90)
произведя интегрирования, получим
С^~аЬя
192 Ь yt I kna
пь ' а 2шЛ ft5 2Ь
ь-\. >. .
= Gflfesft,, (91)
fti-
1 th kna
ft* 2 b
(92)
Для вычисления коэффициента ft, можно пользоваться также приближенной
формулой
\ г. 0,63 0.052 \ ....
где Р -
Эта формула дается в курсах теории упругости и сопротивления материалов.
Некоторые значения коэффициента ftt в зависимости от отношения приведены
в табл. L
Кручение прямоугольного стеруеня 257
1. Значение коэффициентов к. к, н кг
ь k *" *, а 1> к к, кг
16 0.675.1 " 1 II'-, 0,2082 3.5 0,49 Ю 0,2735
0,2754
1.2 0,75,47 0.1031 0.2189 4,0 0.9470 0,2810
0.2818
1.4 0.6223 I), 186!" 0.2272 4.5 0.9985 0.28G8
0.2872
1.5 0,8477 0,1460 0.2312 3.0 0,9993 0,2914
0.2916
1.6 0.8045 0,2017 0,2345 5.5 0,9997 0,2952
0.2953
1.8 0,9044 0,2174 0,2405 0,0 0,9999 0.2984
0.298.4
2,0 0,9301 0,2267 0.2455 7,0 1.0 0,3035 0.3035
2,3 0,9564 0.2122 0,2532 8,0 1.0 0.3071
2,5 0,9681 0,2144 0.2575 10.0 1,0 0.3124 0.3124
3,0 0,0855 0,261" 0.2670 1.0 0,3333 0,3333
Пользуясь обычными формулами (19) для определения напряжений и функцией
напряжений (89), получим
ОС |2у 1 -з-
№_ (-if
ch ь
ch - (2 к- 1) па "
2 Ъ
V II о
sh (2k - 1) лх-
Ь
(2k - I) па 1
(2к - 1)2
: -I
(2k - 1 ) Лу
Ь
(~Dk+i " (2ft - 1)2 4
(2fe - 1)яу
(94)
Наибольшее напряжение в прямоугольном профиле при кручении стержня
возникает в точке х = 0, у - Ь/2 (если а^> Ь):
( 9, - ^ J - | т,пах |
GQbk,
(95)
(96)
9 Заказ 1656
258
Кручение стержней
Использован формулу
М - СО - G0ktaP, (97)
можно формулу (95) принести к виду
[ ле
*2---. 09)
Для вычисления k2 можно пользоваться также и приближенной формулой
*¦ (У 1'¦
Имея функцию напряжений V (х, у), можно определить также депланацию
сечений при кручении стержней, т. е. функцию Сен-Пекана <р (X, у).
Сопоставляя формулы (19) и (57), для напряжении ххг и %.jZ, получим
d(r) , dU дер dU ,г,
>..• • (1С,)
ои
Пользуясь теперь выражением (89), вычисляя производные
dU
-fa- и но форг ф (х, у) найдем
и и по формулам (101) произведя интегрирования, дли фупкшш
Vi
Ф(х. у) - -ху -Т . (2ft - I) лх
;-|)*+' 5 " Ь (2fe - 1) дг , е. (|11)]
Постоянную Cj определяют из условия закрепления одной из юмк поперечного
сечения стержня.
КРУЧЕНИЕ КРУГЛОГО НАЛА С ПОЛУКРУГЛОЙ КАНАВКОЙ
Рассмотрим задачу о кручении круглого вала с полукруглой каи.н кой (рис
7). Удобно задачу решать в полярных координатах, с кача: от1 координат в
центре полукруга выточки, а ось симметрии сечения гранить за полярную
ось.
Кручении вала с полукруглой канавкой
259
функции напряжении Ф (р. <\) п области поперечного сечения вала
удовлетворяет уравнению Пуассона (20). В полярных: координатах это
уравнение имеет вид
<?аф
(103)
Па контуре области сечения функция напряжений принимает значение, равное
нулю. Для нашею случая
Ф (а, <р) = CD (2R cos <j>, (у) - 0. (104)
Напряжения тог и Тцг о полярных координатах выражаются через функцию
напряжений Ф (р, ф) соотношениями
-~С6. (105)
Для этой задачи функцию напряжений Ф (р. q.) К- Вебер представил в виде
Ф (Р. Ф) " (2А' cos <р - р) / (р). (106)
где / (р)-функция, подлежащая определению.
При таком выборе функции Ф (р, <р) второе из pi1c. j
условий (104) удовлетворяется автоматически.
Подставляя функцию Ф (р, ф) из выражения (106) в уравнение (ЮЗ), получим
2(?cos<p [У (р) +-?-/' (Р) - -4.-/ (Р) J -
- | !>/" (Р) т ЗГ (р) + -i- ; (р) j :
(107)
Отсюда, потребовав одновременное выполнение уравнений
-IIP) -О;
Р!" IP) + зг (р) + - ( (р| - 2.
(108)
получим решение
/(р)-=У+~.
(109)
Удовлетворив первому из условий (104), найдем
с~_?.
(ПО)
Кручение спи-рмнсй
Решение (106) примет вид
ф|р. <р - 12R cos<p - р) ------
Для определения жесткости вала и напряж< пни но обычным формулам получим
следующие соотношения:
С.2С\\Ф (р. ч ) р d prflf =^_

"0[-f "•-"p(*-r*-_.?-eif)], (112)
т"* " -R sin "г (1 -jp ) 00;
%г-- [l?(l+-р-)и"Ч -(>] СО (113)
В точке ф = 0, р = а напряжение т<рг имеет наибольшее значение,
определяемое выражением
| ]max = (2/? - о) G8- (114)
Перейдя в этом выражении к пределу при а -> 0, найдем
I Tqiz !max = 2ДСВ, (ИЗ)
между тем, в поперечном сечении бет нырсза напряжение на контуре имеет
значение RGB. Сопоставление этих результатов показывает, что наличие на
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed