Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
этом случае равно С ~ 0,878Со4. т. е. ошибка достигает 80% . На это
впервые обратили внимание А. Феппль и Л Фепнль
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ ОТКРЫТЫМ ПРОФИЛЕМ
В современной технике, особенно в машиностроении и авиастроении, широко
применяют тонкостенные конструкции. Основными элементами таких
конструкций часто являются стержни с удлиненными или тонкостенными
профилями. В последнем случае их называют тонкостенными стержнями, так
как размеры их поперечного сечения в одном направлении являются малыми по
сравнению с размерами в другом. Примерами тонкостенных стержней являются
прокатные профили, угловой, швеллер, двутавр и др.
Тонкостенные стержни с криволинейным профилем
Но форме поперечного сечения тонкостенные стержни дели! на открытые
(швеллер и др ) н закрытые (трубы с различной формой кош ура поперечного
сечения). Открытые тонкостенные стержни имеют весьма малую жесткость при
кручении но сравнению с и зги б ной жесткостью. Поэтому крутящие моменты,
возникающие в элементах сооружений и деталях машин, даже очень малые но
сравнению с изгибающими, могут вызвать в них большие деформации и опасные
напряжения.
Поэтому развитию кюрин кручения стержней с удлиненными и тонкостенными
профилями, и также разработке эффективных методов решения конкретных
задач посвящено много исследований как 1еорети-ческого, так н
экспериментального характера. Главные из этих работ приведены н
монографии {I]. Приближенные методы расчета на кручение стержней с
удлиненными и тонкостенными профилями изложены в современных курсах по
прикладной теории упругости и сопротивления материалов (б. 7, 9. 16. 17.
20, 23].
Решения многих конкретных задач получены при помощи мембранной аналогии
Прандтля или гидродинамических аналогий. Решение задач кручения
тонкостенных стержней при помощи аналогии Прандтля основано на допущении,
что мембрана, натянутая на контур профиля стержня, составленного из
длинных и узких полос, и нагруженная равномерно распределенной нагрузкой,
провисает в каждой из этих полосок так же, как мембрана, натянутая на
бесконечную длинную полосу той же ширины, что и рассматриваемая. При этом
влияние закругления и ужесточения за счет соединения между' собой
отдельных полосок, составляющих данный профиль, учитывают введением в
расчеi ные формулы поправочных коэффициентов определяемых из опытов (см.
стр. -267).
Очевидно, что такой метод расчета на кручение призматических стержней с
удлиненными и тонкостенными профилями дает лишь приближенное решение
задачи н является более или менее точным в зависимости от того, нисколько
узки или длинны те полоски, из которых сосшилен данный профи ;ь.
Кроче того, при использовании метода мембранной аналогии для решения
задач о кручении тонкое к-нных стержней с криволинейным профилем
последний обычно рассматривают как совокупность прямоугольных.
Следовательно, эго решение не учитывает влияния кривизны средней линии
скручиваемого профиля па распределение напряжений. В частности, оно не
дает возможности определить величину концентрации напряжений во входящих
углах скручиваемого профили в зависимости от радиуса закругления.
Математическая сторона приближенного метода расчета призматических
стержней с удлиненными и тонкостенными профилями на кручение такова.
I'lycib поперечное сечен не Q скручиваемого стержня представляет собой
открытый криволинейным профиль, ограниченный контуром Г. Отнесем сечение
стержня к координатам s и п, где s - координата, отсчитываемая вдоль
средней линии профиля, длина которой равняется /, а п - по нормали к ней
(рис. 8). Ось г направлена параллельно образующим стержня.
Пусть контур профиля V GI носитель,ю средней линии выражается Уравнением
п - ± (120)
270
Кручение стержней
т. е. профиль будет симметричным относительно его средней линии, причем h
(0) =- h (/) = 0 и max |ft (s)| ft.
Как известно (см. стр. 242), задача кручения рассматриваемого стержня
сводится к определению функции напряжений U(s, и), удовлетворяющей внутри
области О поперечного сечения стержня урав: нению I lyaccona ?20),
которое в системе криволинейных координат s, п примет вид [8, 13]
"2 [ as2 ' А \ Н ) dS + dn2 дп дп J
(121)
где Н = I -f- - коэффициент Ляме; р - радиус кривизны средней
линии профиля.
На контуре, выраженном уравнением (120). функция напряжений удовлетворяет
условию
*//Г= 0. (122)
Заметим, что в уравнении (12!) фигурирует лишь один коэффициент Ляме И,
остальные коэффициенты равны единице, так как длина дуги ds* в выбранной
системе координат (s, л, г) опреде-0 х ляется равенством
Рис. 8 ds*2 - ^ 1 -|- ' ds2 Ч" dn2 + dz2.
(123,
Касательные напряжения т5г и xnz через функцию напряжений V (¦>, п)
выражаются следующими формулами [1 ]:
т" = оо^-: ,124)
а жесткость при кручении
h (s)
I 2
c=rcj'<!s | и (s, п) (I + -) dn, (125)
0 _ h (S)
1
где 0 - угол закручивания на единицу длины стержня, С - модуль сдвига.
В приближенном методе решается не точное уравнение (121) при граничном
