Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
стержня является идеально-упругим и подчиняется закону Гука и при
напряжениях, превышающих предел прочности материала ов.
Мембранная аналогия
253
Для определения величин местных напряжений в нершине входящего угла (в
окрестности, где контур сечения имеет входящий излом или даже
закругление, но весьма малого радиуса кривизны) методы теории упругости
недостаточны, так как в этих случаях величины местных напряжений
существенно будут зависеть от того, насколько деформации материала
стержня в окрестности излома или закругления отклоняются от закона Гука н
как изменяется в этом месте очертание самого контура сечения вследствие
пластических деформаций.
МЕМБРАННАЯ АНАЛОГИЯ
Часто решения различных задач механики приводятся к одинаковым по своей
структуре математическим уравнениям.
Представим себе мембрану из однородного материала, натянутую на жесткий
контур того же очертания, что и поперечное сечение скручиваемого сгержня,
и подвергнутую затем равномерному поперечному давлению интенсивности р
кПсм2. Натяжение мембраны q к Г 1см па единицу длнны контура будем
считать настолько большим, что прогибы мембраны малы по сравнению с
пролетом, т. е. мембрана имеет настолько малые прогибы и>, что / дни \2
/ dw V2
величины (-gj-) и пре-
небрежимо малы по сравнению с единицей.
Составим уравнение равновесия элемента поверхности мембраны,
спроектировав на вертикальную ось г все действующие на пего силы (рис.
5):
ду -
(-к--5"*)* <
dw , , q-^-dx + q\
(60)
После приведения подобных членов и сокращения получим d2w , d'*bj р
lei)
причем прогибы мембраны на контуре в силу жесткости его будут равны нулю,
т. е.
w = 0 на L, (82)
где L - контур мембраны Если положить
Кручение стержней
то дифференциальное- уравнение (81) и граничное условие (82) буду г
тождественно совпадать с дифференциальным уравнением (20) и грани*/ иым
условием (24), определяющим функцию напряжений при кручении
призматического стержня.
В этом п заключается аналогия, установленная Л. Прандтлем. между задачами
о кручении призматических стержней и об изгибе мембраны.
Эту аналогию можно применить и к кручению полых призматических си-ржней.
Для этого нужно теорему о циркуляции касательного напряжения (26)
выразить, использовав терминологию мембранной аналогии.
Согласно аналогии Правд л я, на соответствующих внутренних контурах
мембраны должны выполняться условия
которые получаются из соотношения (26), если заменить в нем U (х, у)
В случае применения мембранной аналогии для стержней с многосвязным
контуром поперечного сечения необходимо натянуть мембрану на контур,
тождественный внешнему контуру сечения стержня. В областях мембраны,
соответствующих внутренним контурам многосвязного сечения стержня,
необходимо жестко прикрепить плоские невесомые диски; эти диски должны
иметь возможность перемещаться только параллельно плоскости наружного
контура мембраны. Вся эта сложная мембрана нагружается внешним давлением
р.
Существует несколько аналогий между задачами о кручении призматических
стержней и задачами гидродинамики о движении жидкости в цилиндрических
трубах.
Буссинеск установил, что дифференциальное уравнение и граничное условие,
служащие для определения функции напряжений U (х, у) при кручении
призматических стержней, совершенно одинаковы по виду с уравнением и
граничным условием, которыми определяются ско-росш различных слоев вязкой
жидкости при ламинарном движении жидкости по цилиндрической трубе того же
поперечного сечения, что и скручиваемый стержень.
Томсон и Тэт указали, что если идеальная несжимаемая жидкость заключена в
цилиндрическую трубу, вращающуюся вокруг своей оси г с постоянной угловой
скоростью со, то функция тока Ф (х, у) для движения такой жидкости
относительно осей хну, жестко связанных с трубой (вместе с ней
вращающихся), является гармонической функцией и удовлетворяет на стенках
трубы такому же граничному условию, какое имеет место для гармонической
функции ф (х, у), сопряженной с функцией кру чения <р (х, у) для призма
гического стержня такого же сечения, что и труба.
и.. и>1 - const на Lp,
(81)
ДРУГИЕ АНАЛОГИИ
Кручение прямоугольного стержня
255
Грнкхиль показал, чш функция напряжений U (х, у) при кручении
математически эквивалентна функции тока при циркуляции идеальной жидкости
в рассматриваемой выше трупе с постоянной вращательной скоростью для
каждой частицы жидкости.
Имеются и другие аналогии, связывающие задачу о кручении призматических
стержней с некоторыми другими задачами механики, электростатики и пр.
КРУЧЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ
Рассмотрим задачу о кручении призматического стержня с прямоугольным
поперечным сечением. Согласно мембранной аналогии функция напряжений U
(х, у) для прямоугольного профиля будет симметричной функцией
относительно осей Ох и Оу (рис. 6). Поэтому эту функцию достаточно
определить только в четвертой части области сечения ОАВСО, потребовав при
этом, чтобы нормальная производная функции напряжений на осях симметрии
