Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
iiz
Напряженное состояние в стержне предполагается одномерным. На основании
закона упругости
е + а 1, 165)
где Ь - модуль упругости материала стержня; аI - температурная
деформация. Эти величины относятся к рассматриваемой точке поперечного
сечения и могут изменяться по сечению.
Растяжение и изгиб стержней
Нормальное напряжение
- ? I (c)о *
<>ч ". dz ' da
")-/
f<56)
Неизвестные параметры е0. и определяют из трех условий равнонесия
J о d/7 = /V; j оу dF = - | ах dF = Му, (67)
F F F
где F- площадь поперечного сечения; N, Мх и Му - растягивающее усилие и
изгибающие моменты в сечении. Положительные направления силовых факторов
показаны на рис. 13. Для упрощения расчетных формул выбирают положение
осей ху, руководствуясь следующими соображениями. Начало системы
координат (точка О) выбирают исходя из условия
J Ex dF = 0: J ?у dF = 0. (68)
Точку О называют приведенным центром тяжести сечения, а оси координат -
центральными осями.
Если направление осей выбрано так, что выполняется равенство
Рис. 13. Напряжения н силовые факторы в поперечном сечении стержня
J Еху dF = 0.
то оси координат называют главными центральными осями. Параметры
деформации определяются следующими формулами [2]:
Г EatdF N , >
$EdF
d<р
J Eat у dF
j Ey*dF f Ey*dF '
F F
f Eatx dF
dtp
dz
Ex* dF
(70)
Нормальные напряжения
199
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня о - ? I
| Eat dF j EatydF
+ El^TSfe+'W^' '• (7,)
где x, у - координаты точки сечения в главных центральных осях. Первая
группа членов в формуле (71) выражает напряжения от внешних сил, вторая -
температурные напряжения.
Правило знаков. Растягивающее напряжение и растягивающее усилие считаются
положительными. Изгибающие моменты считаются положительными, если они
стремятся осуществить поворот вокруг соответствующих осей по часовой
стрелке (если смотреть с конца оси н ее начало).
Стержень с постоянным модулем упругости в различных точках поперечного
сечения. Нормальные напряжения
-V М* , Ми
(j at dF [ at у dF j a tx dF \
+4^'-*Ьг-+^-"*/¦ <72>
где -~p~ - Op - напряжения растяжения или сжатия (равномерно
ч Мх , Му распределены по поперечному сечению); -у --1- х - ои -
напряжения изгиба (распределены по линейному закону); Jx = = \ уг dF, Jfj
- ( a2 dF - главные моменты инерции поперечного F F
сечения (см. ниже).
Простой н сложный изгиб стержней. Если в поперечном сечении стержня
действует изгибающий момент только в одной из главных плоскостей (в
плоскости хг или уг), то изгиб называется простым. Распределение
напряжений в этом случае показано на рис. 14. При наличии изгибающих
моментов в двух плоскостях изгиб принято
200
Растяжение и изгиб стержней
иаэыиагь сложным1. Для упругих деформаций напряжения и деформации при
косом изгибе в практических задачах целесообразно рассматривать как сумму
соответствующих напряжений и деформаций при прямых простых изгибах
(относительно главных осей), причем прямые изгибы оассматривают
совершенно независимо один от другого.
Нейтральная линия при изгибе Совокупность точек поперечного сечения
стержня, для которых напряжение изгиба равно пулю (он = 0) называют
нейтральной линией. Нейтральная линия является прямой, проходящей через
центр тяжести сечения. При простом изгибе нейтральной линией является
главная ось сечения, перпендикулярная плоскости изгиба.
При сложном изгибе нейтральная линия определяется уравнением
Наибольшие напряжения изгиба и момент сопротивления. Наибольшие (по
абсолютной величине) напряжения изгиба имеют место в точках, наиболее
удаленных от нейтральной оси. При изгибе относительно оси х (см. рис.
14). считая, что точка А является наиболее удаленной,
тельно оси х.
В некоторых случаях целесообразно определять момент сопротивлении для
различных точек сечения. Например, для точки В (см. рис. 14)
Геометрические характеристики сечения. При вычислении напряжений и
деформаций в стержнях необходимо знать координаты центра тяжести сечения,
площадь, моменты инерции и другие еыометриткие характеристики сечения.
Координаты центра тяжести. Для определения координат центра тяжести
сечения используют вспомогательную (произвольную) систему координат х.г,
у.г (рис. 15).
(73)
(74а)
Равенство (74а) часто записывают в следующей форме: Л _ Мх
tfmax - -jpr-.
(746)
Мх
И хН
где
1 Просюй и сложный изгиб стержня час, и называют сотне те гаси ни прямым
и косим.
Нормальные напряжения
Ксордишлы шчира тяжести определяют по формулам _1_
F
1 Уг tIF
(75)
Главные моменты инерции сечения. Осп (,vt. уу) являются произвольными
центрачПьными осями. Главные оси сечения х, у, для которых центробежный
момент инерции равен н\ но
Jxu - \ ху dF - 0.
повернуты на угол (3, причем 2 f XiH, dF
tg If = тг-
ixjdF- \ y{dF
'ft у
176) j
Моменты инерции сечения относительно главных осей называют главными
моментами инерции.
Главные моменты инерции
Рис. 15 Определение координат центра 1ЯМчСС1Н и глцвиы': осей сечения
I
С", 1 JuJ + - V Од, - ]"У "
