Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
гибкой нитыо. При расчете к гибким нитям относят тросы, шарнирные цепи,
канаты, струны и т. п. [5, 6. 11].
Два основных свойства гибких нитей:
нить работает только на растяжение (отсутствие изгибной жесткости
Нриводит к потере устойчивости при появлении сжимающих усилий);
усилие, растягивающее пить, всегда направлено по касательной к нити
(вытекает из условия равенства нулю изгибающего момента в любом сечении
нити).
188
Растяжение и изгиб стержней
При заданной поперечной нагрузке обычно рассматривают дна типа задач:
известен распор нити (горизонтальная составляющая усилия нити) и
требуется определить ее прогибы и длину;
известна длина нити и необходимо найти распор и прогибы.
Основное уравнение прогиба нити. В сечении действует усилие N (рис. б)
N = + 0*, (8)
где И - распор; Q - перерезывающее усилие.
Та-пспс угла наклона касательной к осевой линии
йу Q
-ЙГ = ""-=-&¦
Для пологих нитей <?
¦Cl и приближенно можно принять N " И.
Условия равновесия элемента нити
(1())
где q и h - интенсивное il Рис О. Условие ранпоьесия элемента
вертикальной И горизонтальны ги иои нагрузки на единицу
длины нити в кГ/см. Основное уравнение прогибов нити, вытекающее из
условий (9) и (10).
При отсутствии распределенной горизонтальной нагрузки (h = 0) величина
распора И иоетоянна для всех сечений нити. Дифференциальное уравнение
прогиба нити при II - const
<Ру Я п2\
dzz ~ И 1 '
Уравнения прогибов нити в интегральной форме г г
У (г) = J tg сс (zt) dZi + у (0) = | (r) dzt + У (0). (13)
о 0 1
При постоянном распоре
"(*>=-?- J <?(*.) <1*1+#(<)). (14>
Гибки* нити
189
Гели опоры расположены на одном уровне, то перерезывающее усилие Q (г) не
зависит от распора И и прогибы нити обратно пропорциональны величине //
Если горизонтальное натяжение (распор) нити для различных случаев
нагружения остается постоянным, то прогиб от действия нескольких
поперечных нагрузок ранен сумме прогибав от каждой нагрузки о
отдельности.
Этот принцип справедлив по отношению к перерезывающим усилиям, но не
приложим к натяжению пнти.
Расчет гибких нитей без учета упругости нити и собственного веса.
Упругостью нити можно пренебречь, если отношение длины нити к расстоянию
между опорами существенно больше возможной деформа-L
I •"
." 1,03, где L - длина инти; / - расстояние между опорами).
Собственным весом нити обычно пренебрег ют, если он составляет не больше
Ю()п от внешних нагрузок.
Отдельные расчетные случаи рассмотрены ниже.
Нить под действием поперечной сосредоточенной силы (рис. 6). Первый
вариант - распор нити известен. Вертикальные реакции в точках Лий
Рис. 6
(15)
Тангенсы угла наклона нити
tg а" -
_ Ra _ _ Р (/ - а) .
Rn Ra
,ва1^тг""яг-
(IB)
Прогиб нити в точке а по уравнению (13)
а п
*(") = -g-Jod"=J'tgaMdn=0tg0. = - Р('~п>° . (|7)
Второй вариант - известна длина нити L. величину И подлежит определить.
Длина нити
L = a\r I + tg2 а0-Н1-о)/Г+ tg2 a,i =
I ' Г* (47'- ' '
(18)
J90
Растяжение и изгиб стержней
из равенства (18) следует
о Ь*
У Р 2 F [ Р I + )+ Р I +
При а - I
L
(19)
(20)
При --> i (начальное провисание отсутствует) натяжение нити
И -> уо. Однако при учете упругости нити натяжение остается конечным
Прогиб нити при а =-^~ I
-П^т-)'-1- (21>
Отмстим, что небольшое превышение длины нити иад длиной пролета вызывает
значительные прогибы. Например, при -^- = 1,01 будем иметь
i/imx = 0,071.
Нить под действием двух сосредоточенных поперечных сил (рис. 7). Первый
вариант - распор нити И известен. Вертикальные реакции определяют из
уравнений статики
Pi (/-Ох) Р2(1 - а2) с .
Ка = - у + i л у,
U , Рй°2 I и С
{-~ + пу*
Углы наклона нити [формула (7)] tga
tga,- ~Нл ^Р' + Р'- . (22)
Прогиб нити по уравнению (13)
г г
У (г) -J Q (г,) dz, = [ tg а (г,) dz, (23)
Гибкие нити
191
Условие# (/) - с выполняется, так как Q (г) определяется в соответствии с
условиями равновесия.
Прогибы нити
Р. (I - аЛ ",
У <",) - "" tg<x0 ----------------
т
Pa(f-сц)о,
HI ' i *
и (eg) = ut tg a" f (Cl* - a,) tg "l -
Px (1- о-Л и, Рь (/-fb) g2 , a?
7П * /// c Г"
(21)
У [I)-с.
Подъем опоры В на высоту с сообщает точкам нити дополнительный прогиб
Уд (г) = с-
t '
(25)
Второй вариант - известна длина нити L, величина // подлежит определению.
Расчет ведут по уравнению
L = tfi V Гт + (са - с,) VI rtf'*, Ч- (' - ог) ^1 • tg- а",
(26)
которое, в силу равенств (15) и (16). предел в •''ет зависимость L -= f
(Я). Аналитическое решение задачи гро\ч>з.,к.,. поэтому применяю!
н
- с - Y z
приближенный метод. Задаваясь различными величинами Н (Hi, Я2, . .
определяют нз условия (26) длину нити Lx, L.? и, строя кривую L = f (//),
находят величину И, отвечающую заданному значению L.
Нить под действием п сосредоточенных сил (рис. 8). Первый вариант -
известна величина Н. Прогиб нити
192
Растяжение и изгиб стержней
Напряжение нити на участке t, г ! I
N,^H V I -f- (ад
= (29J
0/41- Oi
Btnonnii вариант - известна величина L
L =- S ("'*! - Щ) VI т (30>
