Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
где lgctj определяется равенствами (29) н (27)
Решение уравнения
L=/(W) (31)
находят приближенным способом (см. стр. 191).
Нить под действием равномерно распределенной нагрузки (рнс. У). Первый
вариант - известна величина И. Интегрируя дважды уравнение (12). находим
и
Яг) ----~(1г - г2) + с .
(32)
При расположении опор на одном уровне максимальный прогиб
"п"=-"(4-)=-ш-{33)
Второй вариант - известна длина нити L. Длина нити при с = 0 определяется
равенством
К'+ШХ1-2^)2''2-
=-И-''+Шг-тАг^- <м>
Для пологих нитей (протибы нитей малы по сравнению с I) равенство (34)
можно представить в более простой форме1:
((r))
1 Равснстпо (35) получается из (34), если принять для подынтегрального
выражения приближен is не значение.
Гибкие нити
193
В общем случае величина И находится из соотношения (34) указанным ранее
приближенным способом Для пологих нитей ^ ^*"ах <0,1^. в силу равенства
(35).
?
2J/6
п
(36)
Максимальный прогиб нити
/3 2/2
(37)
Нить под действием произвольной распределенной нагрузки. Прогиб нити при
известной величине И определяют но формуле
"/(*)
т-(-гЯ?(г"
4 со
(2.J dz2 dzt
- J J Q (Za) dz2 dz,
Вторая опора поднята на высоту с.
Расчет гибких нитей с учетом собственного веса. Для сравнительно пологих
нитей
допустимо учи-
тывать собственный вес с помощью введения равномерно распределенной
нагрузки (на единицу длины по оси г) интенсивностью
Qo -= \F.
(39)
где у - удельный вес материала иити; F - площадь поперечного сечения.
При больших прогибах нити приходится учитывать наклонное положение
элемента нити (рис 101.
В этом случае дифференциальное уравнение прогиба нити (при постоянной
величине И)
&У_ _ 0о_ |/. ,('Jv_У Зг' И У + U" )
(Ю)
имеет следующее решение:
fa],
(41)
194
Растяжение и изгиб стержней
содержащее неизвестный параметр а (абсциссу сечения, для которой
-о).
Величину а определяют из условия у (7) = с, что дает
~iT"cll"w' -ch7fa
Уравнение (42) решают способом подбора.
Длина нити
с) dz -
(42)
=^[shl('-o)+sh-H-
(43)
Это уравнение, также способом подбора, позволяет определить И при
заданной величине L.
Если опоры нити на одном уровне = 0, п = то прогиб
*{г) = -^[сЬ-$н-в'1т(г--т)]- (44>
Qyl
JL и (32) совпадают (с = 0). Длина нити
(45)
Расчет нитей с учетом упру-Рис. и гости материала. Нить под
действием поперечной сосредоточенной силы, приложенной в середине пролета
(рис. II). Тангенс угла наклона
(46)
goto --------
2 И '
наибольший прогиб
K4-)=4-*ga"=-
Натяжение нити
N = Н \f( + tgs а0 = Н у 1 -
(47)
(Щ
постоянно по ее длине.
Гибкие нити 195
Длина нити
L --= ПЛ + tBa"o^I У 1 ¦ (49)
Если первоначальная длина нити L0, то длина нити под нагрузкой L = L0 (I
-f е), (50)
где деформация
N Ил/ Р2 e = ~EF^TF \ 1+_4W (5,)
В этом равенстве EF - жесткость сечения нити на растяжение. Из равенств
(49)-(51) вытекает
Г'
/
,1/ _ж_.
у
Прогиб нити в середине пролета
(52)
(53;
Если первоначальная длина нити равна длине пролета L0 = I, то из
равенства (52)
2Н 1 / Цг-пг - 1 <=> тт^- •О**- <м>
так как I.
Прогиб в точке приложения силы
Нить под действием равномерно распреде-енной нагрузки (рис. 12).
Рассматриваются пологие нити, распределенную нагрузку может быть включена
нагрузка от силы веса. Усилие в нити принимается равным распору
Растяжение и изгиб с/пгрм пей
Используя уравнения (35), (50) и считая f = I
СГ
Ql
2 |Л6 '
Максимальный прогиб
VH'+Sr)-
, будем иметь
(5Ь)
Ушах = -
КЗ
2/2
(57)
Если пер нон анальная длина нити равна длине пролета I, то
qi ^ \ н *;
EF
Расчет нитей с учетом упругости материала нити и температурных
деформаций. Нить под действием поперечной со-с р е д о I о ч е н н о й
силы, приложенной в середине пролета (см. рис. 11) Длина нити в рабочих
условиях
L = L0 (I + е + е,>.
(58)
- /И
здесь t- температура нити в сечении г; " - коэффициент линейного
расширения.
Используя равенство (51), получаем
У '
pi
^'т|/
(59)
(611)
Нормальные напряжения
Нить под действием равномерно распределенной нагрузки (см. рис. 12). В
этом случае
Q1 2 ^6 '
(61)
Если обозначить разность Ln - / = Д, то равенство (61) можно представить
в следующей форме:
W = M'a+A" + V (в2)
Ql 1 *
где Но = = - натяжение нити без учета упругости и теч-
2У6 i/Д ) Г
пературных деформаций, Де = _ 0 , А* - L0B/ - удлинение нити от сг
действия напряжений и температуры. Из формулы (62) вытекает, что учет
упругих и температурных удлинений существенен, если они составляют
величины того же порядка, что и разность первоначальной длины нити и
расстояния между опорами.
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНОМ СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЯ
Общие сведения. В соответствии с гипотезой плоских сечений перемещение
произвольной точки сечения А (а-, у) (рис. 13) вдоль оси стержня W = 12*0
- <ру фх, (63)
где ф. Ф - углы поворота сечения относительно осей а: у, - перемещение
точки О (начала координат).
Относительная де<|юрмация
ito d(D , йф .
* = -йГ=е>-ЯГ,' + ТГ* (61'
du>n _
где е0 ~-относительное удлинение в точке О.
