Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
сила (рис. 23):
у (г) "- у (0) У о (г) + (0) У, (г) + -g- (0) К, (г)
+
( (0) У, (г) + ^ Л"" (о,) У, (г - а,) +
q(s)y3(! - s)ds. (103)
tJ,
- скачок третьей производной у (г) в сечении х = bt;
е (ог), е (f"j) - единичные разрывные функции
е (Of) =-
0 при г^ац
1 при z>Of;
е{Ь{)
ч
0 при г <6,-;
1 при г > bi,
(104)
суммирование проводят по всем сосредоточенным нагрузкам Предложу
дагается, что прогиб стержня у (г) и угол поворота -плавно (без скачков).
(2) изменяются
Прогибы стержня
215
Последний член в формуле (103) выражает действие распределенном нагрузки.
Если нагрузка постоянна на участке от с,- ^ х ^ то
**(2" = T77b<s)JL
о
<"")
Положительные направления силовых факторов показаны на рис. 23. При учете
связи производных прогиба и силовых факторов уравнение упругой линии
стержня записывают в виде
j/ W -- s (0) +-5r<°)J + -^7--|r + ^7-^- +
V4 Mi (г -в.)2 . V4 , ft* (г - bi)" ,
+ 2jClCi) njx • 2, +^jc<^?/x 3i +
(г ~ ")3
ds.
(106)
Величины i/(0), "^"(0). Mo
шштцшнд
Рис. 24
и Qo - называются начальными параметрами упругой линии стержня. Примеры
использования уравнения упругой линии по методу начальных параметров см.
в работах (9, 14].
Пример 2. Определить уравнение упругой липни стержня, покачанного на рве
24
Р с пт с н и е Определяем начальные параметры
ЛГ0 = - PI; Qv= Р - ql.
По уравнению 11061. учитывая равенство (105). находим
"<•> "-?77 Иг-") -? +_Й7 <"> -Гн -h; *тг
Уравнение упругой линии в интегральной форме. При определении прогибом
стержней переменного сечения или при сложной naipjaKti часто оказывается
целесообразным использовать уравнение упругой линии в интегральной форме
г г,
У(г) = У (0) + А (0) г t- [ J Лг, </г,, (107)
О II
где Zj. z2 - переменные интегрирования.
Растяжение и изгиб стержней
При мер 3. Стержень переменного течения лежи г ни двух опорах (рис 2',)
Изгибающий момент в сечении известен, грсбустся определить прогиб.
Решение. На основании уравнения (107) из условия у (() - 0 находим
*т=-т
Прогиб стержня
о о
Интегралы вычисляют приближенно по правилу трапеций. Пространственная
упругая линия. При изгибе в двух главных плоскостях (рис. 26) на
основании равенств (70) для равномерно нагре-
dz dz
ния пространственной упругой линии имеют вид
В силу равенств <р - -, ф = дифференциальные уранне-
iPy Мх
rf?2 " IiJx ; I1"4*
^ l/j
о"п
Уравнение упругой линии при наличии естественной закрутки см. в гл. 13.
Уравнение упругой линии с учетом деформации сдвига. Рассмотрим плоский
изгиб стержня. Если длина стержня соизмерима с его высотой.
Прогибы стержня
217
то необходимо учесть влияние деформации сдвига на его npoi иб (рис. 27).
В приближенной теории угол сдвига сечении принимают
-ft (2)
CMf) GF (г)1
(111)
где Qij (г) - перерезывающая сила в сечении г (положительное направ лен
не' показано на рис. 22); F (г) - площадь поперечного сечения стержни; G
- модуль сдвига материала; ft (г) - безразмерный коэффициент (коэффициент
сдвига), зависящий от формы поперечного сечения.
11а основании усреднения энергии сдвига можно приближенно принять
if
(Н2)
обозначения - см. формулу (91).
Для стержня прямоугольного се-6
чения ft - *р-, для сплошного круг-
лого сечения ft =
10
для сечения в
Рис. 27. Деформ.IПИЯ сдвига в результате дейстьия исрсреэм-вающей силы
виде тонкостенной трубы ft - 2. Влиянием изменения сечення по длине
стержня на величину ft пренебрегают.
Связь дополнительного прогиба оси стержня и угла сдвига
Феб (г) dz
Quiz) GF (г)
(113"
Знак минус в равенстве (113) зависит от выбора положительного направления
перерезывающей силы.
Прогиб стержня ул (г), вызванный действием изгибающих моментов,
определяется прежними соотношениями
(г)
Л2
Мх (л /У (г)
(114)
Дифференциальное уравнение упругом линии стержня с учетом влия пня
деформации сдвига
d3y
~dz*
Мх(г) EJx(z)
d i Qy(z) dz { GF (г)
(115)
где у (г) = ум (г) уСд (г) - полный прогиб стержня (смещение центра
тяжести сечения по оси г).
218
Растяжение и изгиб стержней
Уравнение упругой линии стержня в интегральной форме
yU)-ym + ^mz+k-§M^-
Л1М-J C,F{z,)
dzt-<
+ JJ
Mx(zs)
(2г)
(iZq (lZi.
(116)
Прогиб стержня только от действия перерезывающнх сил
Г Qu (*i)
Усз (г) = Усд (0) - к J gf ¦ - г1г,, (117)
О
так как
АУсд ,0> . h Q (0) йг () ОРФ)'
Пример 4. Определить прогибы консольного стержня под действием
сосредоточенной силы с учетом влияния сдвига (рис. 28).
- д г-
Z -"¦ 0(2) г р
М (г) = -Р {I - гУ, Q (г) - Р. Учитывая кряеные условия
находим ит уравнения (116)
Наибольший прогиб (z - I)
где коэффициент ?, выражает приращение прогиба при учете деформации
сдвига. Для стержня прямоугольного сечения (высота сечекнн ft) ft(l + v)
ft*
2 (2
При ft = I; v =- о 3; >. = 0,78.
Прогибы стержня
219
Пример Б. Определить прогиб балки под действием распределенной на* грузин
с учетом влияния перерезывающей силы (рис. 24)
Решен и е. Перерезывающая сила и изгибающий момент в сеченый
Q (2) = ^----qz ;
Прогиб от действия изгибающих моментов
