Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
В классической механике исходным принципом является принцип Даламбера, основанный на понятии виртуальной работы. В системе из массовых точек он выражается в виде
k k
2 "Л-2^=°. (А.4.1)
Смещение массы ть обозначено через rfc, а сила, действующая на нее, — через Fh. Суммирование производится по п массам. Уравнение (А.4.1) справедливо для произвольных вариаций 6тк. Благодаря многим основным свойствам этой формулировки она является
199
эффективным методом анализа. Например, в случае голономн'Ы)? связей некоторые типы неизвестных сил автоматически исключаются из уравнений, поскольку их виртуальная работа равна нулю. Более того, можно подобрать вариации, удовлетворяющие голономным связям. В результате получаются уравнения, содержащие такое количество неизвестных, которое соответствует степеням свободы и в которые не входят силы связей. Кроме того, обычно имеется возможность выразить некоторые или все члены уравнения (А.4.1) с помощью таких физических инвариантов, как кинетическая и потенциальная энергия. Для большинства задач можно записать:
А /
=37 (А-4-2))
где V- — потенциальная функция координат, a §f j — заданная приложенная сила. При этом уравнение (А.4.1) можно записать как
к /
2 тк г*5гь + SV' = 2 ^3'8г3'- (А.4.3)
Это уравнение можно распространить на непрерывные системы, если рассматривать физическую картину следующим образом. Можно описать иоле теплового смещения в виде
г = г(?ь .......Qn, х, у, г, t), (А.4.3а)
где х, у, г — начальные координаты; t — время, a qi, qг.. qn —
обоб1ценные координаты. Поскольку физическая система является
существенно молекулярной или атомарной, ее можно разделить на ряд отдельных ячеек. Каждая ячейка должна содержать достаточное количество молекул или атомов для того, чтобы для нее были справедливы макроскопические законы. В то же время она должна быть достаточно малой по величине, чтобы ее поведение можно
было описать с помощью нескольких параметров — дискретных ве-
личин по аналогии с описанием частиц.
В термодинамическом смысле подобные понятия обсуждались в § 1.3. Выражение (А.4.3а) для поля г с помощью обобщенных координат является полным физическим определением, что становится очевидным, если разделить непрерывную систему на N ячеек и выбрать несингулярное преобразование 3W = n компонент смещений центральнсй точки каждой ячейки в а переменных qi. Для непрерывных систем суммирование в уравнении (А.4.3) заменяется интегралом:
j" т г 8r dx -f- SV = J j* $F SrdA. (A.4.4)
~ -t A
Для упрощения в этом уравнении считается, что силы SF приложены на границе А области объемного интегрирования т.
Покажем, что такое описание непрерывного поля смещения г с помощью конечного числа координат q( ограничивает конфигурацию поля г представлениями только с помощью тех q,, которые имеют физический смысл.
Пользуясь оптической терминологией, можно сказать, что физическое описание не должно выходить за пределы определенного порога разрешения, где непрерывная модель, представленная дифференциальными уравнениями, теряет физический смысл.
200
Из вариационного принципа (А.4.4) получим уравнения Лагранжа
d (д&\ djT . дУ
dt [dqt ) dqt + dq, ~Qi' <A-4'5)
Этот результат является следствием важного свойства подынтегрального выражения, содержащего ускорение в уравнении (А.4.4) и заключающегося в том, что это выражение может быть представлено с помощью физического инварианта кинетической энергии.
Вывод уравнения (А.4.5) связан с функциональным тождеством:
di-ч е>г
Т^Г“' ,А4'6>
Этот метод аналогичен методу, применяемому при выводе уравнений Лагранжа для теплопроводности. Например, в случае изотропных свойств используется вариационный принцип (1.2.9) в виде
H-5Hrfx+5V= — jjen-SHrfA
(А.4.7)
который аналогичен уравнению (А.4.4). В результате получим уравнения Лагранжа
dV , dD
Т55Г+7Г”в*' (А'48)
При этом величина, содержащая Н, выражается с помощью физического инварианта, который в данном случае совпадает с диссипативной функцией D. Для этого также необходимо учесть функциональное тождество
<Ш
-т— = —, (А.4.9)
<?<7г dqt ' У
аналогичное соотношению (А.4.6).
Большой класс явлений описывается с помощью уравнений Лагранжа, в которые входит кинетическая энергия и диссипативная
функция и которые в общем виде могут быть записаны так;
dt \ dqt J dqt dqt dqt 41 v >
Это уравнение для диссипации, обусловленной вязким трением, известно со времени введения диссипативной функции Релея. Автором было показано, что такой универсальный подход возможен также в случае термодинамической диссипации, что показано в предыдущем параграфе на примере термоупругости.
Приближенные и слабые решения. До сих пор мы считали, что метод обобщенных координат позволяет полностью представить физическую систему с помощью большого, но конечного числа переменных. Однако необходимо отметить, что в большинстве случаев практическое применение уравнений Лагранжа не требует полного опи-
201
Сания физической системы с помощью обобщенных координат. Во многих случаях можно предположить, что решение принадлежит классу функций с малым числом параметров, которые можно использовать в качестве обобщенных координат, подчиняющихся уравнениям Лагранжа. Как указывалось в § 1.4, этот метод является одним из самых эффективных методов приближенного решения, так как при его применении свойства решений известны уже при формулировке задачи, что позволяет уменьшить число неизвестных.
