Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Виртуальная работа как вариационное скалярное произведение. Понятие ииртуальной работы известно в механике очень давно, где оно успешно применяется при анализе сложных задач и формулировке упрощенных приближенных уравнений. Автором было показано, что это понятие может применяться и в термодинамике. Действительно, понятие виртуальной работы есть не что иное, как физическое представление понятия, которое можно выразить на языке
функционального анализа.
Рассмотрим, например, неизвестное скалярное поле
Ф = Ф,(д:ь хг, .... хп, t), (А.4.11)
зависящее от (га+1) переменных х, и t. Предположим, оно описывается уравнением
S*{<t>,xi,t) = 0. (А.4.12)
Это соотношение является дифференциальным уравнением самого общего вида. Умножив уравнение (А.4.12) на произвольные вариации бФ и проинтегрировав результат по объему т в ге-мерном пространстве переменных получим:
(Vs0dx = O, (А.4.13)
1
где d% = dxtdx2 ... dx„.
Для произвольных вариаций бФ из уравнения (А.4.13) не следует, что уравнение (А.4.12) справедливо всюду. Однако, используя математическую терминологию, можно сказать, что (А.4.12) справедливо почти всюду. Но это означает, что множество точек, в которых оно несправедливо, имеет нулевую меру.
Геометрически это уравнение можно выразить, положив
JS = R. (А.4.14)
Величину R, равную <Уг, можно рассматривать как вектор в функциональном пространстве. Запишем уравнение (А.4.13) в виде
j* R b0di = 0. (А.4.15)
1
Интеграл можно рассматривать как определение скалярного произведения двух векторов R и бФ в функциональном пространстве. Величина R представляет также «погрешность» уравнения (А.4.12). Следовательно, на языке функционального пространства можно сказать, что в уравнении (А.4.14) проекция R на вектор бФ равна нулю для всех ориентаций этого вектора.
Формулировка физических задач с помощью вариационных соотношений типа (А.4.13) открывает более широкие возможности для использования обобщенных координат и вывода соответствующих уравнений типа Лагранжа. Конкретные примеры показывают, что эти уравнения легко преобразовать, например, с помощью интегри-
202
рования по частям и некоторых других операций, которые используются, чтобы сгруппировать члены, соответствующие инвариантам. Остальные члены играют роль аналогов обобщенных сил.
Рассмотрим некоторые обобщения вышеописанных методов. Например, вместо уравнения (А.4.13) можно записать:
§J'd&'dz=0, (А.4.16)
Т
где SF—функция Ф. В более общем случае (А.4.16) может быть даже дифференциальным уравнением, содержащим Ф. Еще одно обобщение можно получить, если учесть, что число необходимых независимых переменных не может быть (ге+1), но может быть (ге+2), (га+3) и т. д. Рассмотрим, например, неизвестное поле
ф = ф(хи х2, . . ., хп, ti, t2), (А.4.17)
являющееся функцией (я+2) переменных. Можно записать также вариационное уравнение типа (А.4.15). Однако в данном случае обобщенные координаты будут функциями двух переменных U и t2. Обобщенные уравнения типа Лагранжа будут при этом дифференциальными уравнениями в частных производных.
Метод наименьших квадратов. Хорошо известным методом приближенного решения дифференциальных уравнений является минимизация интегрируемого квадрата погрешности R. Например, в случае дифференциального уравнения (А.4.12) этот интеграл будет иметь вид:
R2dz = \^ (А.4.18)
Т X
Решение, минимизирующее это выражение, должно удовлетворять уравнению
3/= jVsdx = 0. (А.4.19)
Очевидно, что это уравнение является частным случаем уравнения (А.4.16), при выводе которого полагалось ff’—S*. Следовательно, метод наименьших квадратов соответствует определенному выбору скалярного произведения. Однако поскольку SF в этом случае не функция, а оператор, то при минимизации величины / получаются более сложные дифференциальные уравнения, имеющие более высокий порядок, чем исходное уравнение (А.4.12). Кроме того, основные физические инварианты задачи обычно растворяются в формализме, искусственном и далеком от физической сущности задачи.
Метод Галеркина. Этот метод можно также считать частным случаем общего метода, основанного на понятии вариационного скалярного произведения. Он представляет собой выбор линейной зависимости от обобщенных координат, которые считаются неизвестными постоянными. Например, в случае дифференциального уравнения (А.4.12) мы можем записать решение в виде
k
(А.4.20)
203
где Ф(хt) —выбраннЫе соответствующим образом функции (п+1) переменных х, и t. Запишем интеграл
^ З'ЬФ di’ —¦ О, (А.4.21)
v
где
dx' = dx.idx-2 ... dxndl. (А.4.22)
Следовательно, в этом случае область интегрирования включает все (я+1) переменных Хг и t, а не только п переменных Xi, как
в уравнении (А.4.13). Подставив значение Ф из (А.4.20) в уравне-
ние (А.4.21), получим:
k
2рФАЖ-=0. (А. 4.23)
-с'
Поскольку вариации bqh произвольны, приходим к уравнению
^<2>hdT' = 0, (А.4.24)
¦t'
выражающему свойство ортогональности погрешности &‘ = R и функции Фь. В этих уравнениях и состоит метод Галеркина.
Этот метод получается из общего уравнения (А.4.16), если, во-первых, положить &~ — Ф, во-вторых, принять линейную зависимость Ф от обобщенных координат, рассматриваемых как постоянные, и, в-третьих, проинтегрировать его по области всех переменных. Последнее соответствует тому, что переменная t не присутствует в явном виде, тогда как мы имеем (я+1) переменных Xi.
