Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Ui = Ui(qu q?......q„, x, у, z, t)\
Si = Si{ql, qt, ..., q„, x, y, z, t). (A.3.24)
При этом обобщенные координаты задаются произвольными вариациями &qi, откуда
к к
6ui=S -ж ^ s5i=S -жsq*- (А-з-25)
Поверхностный интеграл в уравнении (А.ЗЛб) можно поэтому записать в виде
Я (S —8 S =2 о*®?»- <а-зж>
(А-3 27)
где
Также
Величину
к
SdV
(А-3-28)
(А.3.29)
можно выразить с помощью кинетической энергии, используя классический метод Лагранжа в механике, Чтобы показать это, рассмотрим тождество
.. du.i d f. dUi \ ¦ d f dut \
а'^=ЧГ(ъ^)-а<-й-{-дЪГГ ( }
Из уравнений (A.3.24) получим соотношение к
dUi ди^
' q* + * (A.3.3i)
откуда
dqh dt
SUi -it (A-332)
dqл /
duf _ d2Ui . d2ut d f ди%
Sd2Uj ¦ d2ut _ _d__ f
dqhdqj qi + dqkdt dt \ dqh
196
(A.3.33)
Подставив эти значения в тождество (А.3.30), получим:
• • diii d (. dut \ . да
~Wh dt ^ ~dq^J~Ui ~дъГ’ (А.3.34)
откуда следует:
т
где — кинетическая энергия,
?Г = 4” Jj"J? (А. 3.36)
Точно таким же методом можно преобразовать оставшийся член в уравнении (А.3.16). Из выражений (А.3.24) получим:
к
\л dSi . dSt
3< = У1^^ + -дГ’ <А-3-37)
откуда
dSt dSi .
dqh dqk
Поэтому можно записать:
" е и i 1,а л>,‘
т т
ИЛИ
if k Тт\ fi S =S 8q*’ (A'3,40)
где
(A.3.38)
(A.3.39)
D— 2 Tr S^S dz.
(A.3.41)
В этом выводе учитывались соотношения взаимности Онзагера
Xij = \ji. (А.3.42)
Инвариант D является диссипативной функцией. В ранее опубликованных работах fJI. А-2 и А-3] показано, что термодинамический смысл диссипативной функции состоит в том, что величина 2D/TT равна скорости роста энтропии в единице объема.
197
Подставив выражения (А.3.26), (А.3.28), (А.3.35) и (А.3.40) в вариационный принцип (А.3.16), получим:
Поскольку вариации 6qk произвольны, приходим к уравнениям Лагранжа для обобщенных координат:
МЪУЪ+ъ+Я-*- —>
Используя методику, 'описанную в § 2.2, можно с помощью этих уравнений учесть граничные условия, включающие коэффициент теплообмена К. Это можно сделать, дополнив диссипативную функцию величиной диссипации на границе:
(А.3.45)
* t А
где Sn—нормальная компонента смещения энтропии на границе А. Для термодинамической силы используем выражение
=Я(Ёf 1 ж-- 9° XntdA> <А-ЗА6)
где 0О — адиабатическая поверхностная температура, введенная
в § 2.2.
Частный случай теплопроводности. Полученные общие результаты применимы для случая чистой теплопроводности, если положить Ui = 0. Значение v из (А.3.5) можно записать в виде
1 1 с В2
v = ~2~ Ss = —g--j—• (А.3.47)
Аналогичное выражение получается, если положить o,j = 0. В этом случае с обозначает теплоемкость при отсутствии напряжения. Следовательно, для чистой теплопроводности потенциал термо-упругости имеет вид:
V = (А.3.48)
В задаче о чистой теплопроводности кинетическая энергия gf либр равна нулю, либо ею можно пренебречь. Отсюда, положив ?Г =0, получим уравнения Лагранжа (А.3.44) в виде
dV dD
¦^r+^r=Q- (А-3-49)
За исключением множителя 1 [Тт, выражения для V, D и Qh совпадают соответственно с выражениями для теплового потенциала, диссипативной функции и тепловой силы, приведенными в гл. 1 и 2. Уравнения Лагранжа для чистой теплопроводности, выведенные в этой главе, аналогичны уравнениям (А.3.49), если опустить в них общий множитель 1 /Тг.
гее
Аналогично, пренебрегая смещениями и ускорением, увидим, что вариационный принцип в форме (А.3.16) совпадает с вариационным принципом в форме (1.5.10).
Вязкие жидкости, вязкоупругость, пористые среды. Уравнения Лагранжа (А.3.44) применимы к динамике несжимаемых вязких жидкостей. Движение жидкости описывается обобщенными координатами, а вязкость учитывается с помощью диссипативной функции Релея. Такой метод дает хорошие результаты при анализе многих задач гидродинамики. Особый интерес представляет его применение для течений в пограничном слое.
Гидродинамика вязких жидкостей и вязкоупругих сред с начальным напряжением на основании уравнений Лагранжа рассматривается в монографии автора {Л. А-7]. Механика пористых сред, содержащих вязкую жидкость, также разработана при использовании уравнений Лагранжа для упругих и вязкоупругих твердых тел [Л. А-8]. Задача о пористой среде с начальным напряжением решалась также с помощью этих же методов [Л. А-9]. Все эти теории имеют одну общую термодинамическую основу, что выявляет принципиальное сходство между термоупругостью и механикой пористых сред.
Электродинамика. Возможность представления уравнений электродинамики в лагранжевой форме известна давно. Соответствующий формализм включает диссипативную функцию, учитывающую джоулев эффект. Унифицированный метод Лагранжа для связанных электрических и механических систем дает особенно хорошие результаты в области электроакустики [Л. А-10]. В двух работах Хе-ривеля {Л. А-11] сделана попытка сформулировать общий принцип Лагранжа для электромагнитной теории и гидродинамики.
А.4. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Понятие обобщенных координат и соответствующие уравнения Лагранжа уже стали существенной составной частью классической механики. Введение Релеем диссипативной функции позволило учесть вязкие силы. Хотя обобщенные координаты использовать почти исключительно в задачах механики, само понятие этих координат и связанные с ними методы имеют гораздо более широкий смысл и являются основой анализа большого класса явлений. С чисто математической точки зрения методы Лагранжа при использовании понятий функционального анализа также приводят к новому подходу. Для пояснения этого более широкого подхода рассмотрим подробнее основы метода Лагранжа.
