Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Значит решения типа уединенной волны принадлежат ядру линейного оператора
с (rf/rfg) — К* (s (?)). (4.51)
Сравнивая (4.47) и (4.50) и применяя предположения (г) и (е), имеем
G(s(|)) = Ps(|), (4.52)
4.4. Применение общей теории к уравнению КдФ
107
где р зависит от с и У, так как G — градиент интеграла
Примечание. Граничные условия для G(s) их не вызывают затруднений, так как по предположениям (г) и (е) обе функции стремятся к нулю при Ц|-»-оо.
Доказательство теоремы 6 завершено.
4.4. Применение общей теории к уравнению КдФ
Применим общую теорию к уравнению КдФ и посмотрим, придем ли мы к результатам, полученным ранее. Для уравнения Ut + UUx + Uxxx — 0
К. (и) = (ии х -j- iixxx)• (4.53)
Обозначим одиопараметрическое семейство решений этого уравнения через ий (х, t) — и (х, t, е), которое единственным образом определяется одиопараметрическим семейством начальных данных ие (х, 0) = «о + е/. Вариация К (и) дается выражением
(d/de)K{u + ev) |е=0 =
= — (d/de) {(и + ей) (их + evx) + иххх + evxxx} |е=0 =
= — (uvx + uxv + vxxx) е= V (и) v (в наших обозначениях),, гак что
V (и) = — (их + uD + D3) = — (Du + D3), D = д/дх. (4.54)
Отсюда мы заключаем, что К (и) зависит от и. Следовательно, К (и) удовлетворяет условию (а) теоремы 6.
Исследуем далее сопряженный оператор V*, определив предварительно скалярное произведение. Так как мы имеем дело с функциями из класса С°° на вещественной прямой (—оо < х < + оо), достаточно взять скалярное произведение в Ьг- Таким образом,
-j-oo
(и, v) == ^ uv dx. (4.55)
— оо
Из этого определения скалярного произведения имеем
+°°
(V (u)f,g) = - J (JL(„/) + -g{.)ffd*=,
+оо
—оо
108
4. Общее уравнение эволюции
так как /, g, fx, gx, fxx, gxx-+ 0 при |x|-*-oo. Отсюда
V*{u) = uD + D3. (4.56)
Согласно (4.54), вариационное уравнение, определяющее v, в этом случае имеет вид vt = —(Du-\- D3)v. Пусть теперь L — оператор Шредингера:
L = d2/dx2 + '/ви; (4.57)
ясно, что L симметричен. Следовательно, по теореме 3 собственные значения оператора L, в котором функция u(x,t) удовлетворяет уравнению КдФ, не зависят от t при условии, что существует антисимметричный оператор А, такой, что
Lt = [A,L]. (4.58)
Дифференцируя L по t, получаем
Lt = (d/d/) (D2 + V6ы) = У6ы, = 1/&К (и) = —Ve (««* + иххх). (4.59)
Из уравнений (4.58) и (4.59) ясно, что теорема 3 в настоящем случае удовлетворяется, если
[A, D2 + ‘/ем] = — 7е(««* + иххх)- (4.60)
Так как правая часть уравнения (4.60) содержит производные третьего порядка, предположим, что А является следующим антисимметричным оператором третьего порядка: А = D3 + bD + Db. Выполняя дифференцирование, можно показать, что
[jy + bD + Db, D2 + 76ы] 'ф =
=Ф3 + bD + Z)6) (Ч>„ + 7б«Ф)-Ф2 + 7ви) Uw+H*+(HU=
,= (*/2Мд; 46Л) 'флсjc “Ь (}liUxx 46 д.*) 'ф^_Ь(7б^д:д:д:_Ь7з^Ид; Ьххх) ф.
(4.61)
Чтобы это выражение было просто произведением гр на функцию в правой части (4.60), мы должны выбрать
Ь — и/8, 4.62)
и тогда
[A, D2 + У6ы] = 7г4 («ил: + иххх)> (4.63)
так что (4.60) будет удовлетворяться, если мы возьмем
А = 4(Z)3 + bD + Db). Это доказывает существование анти-
симметричного оператора А, удовлетворяющего (4.58). Следовательно, для этого случая имеет место теорема 3 и собственные значения К оператора Шредингера (4.57) не зависят от t.
Здесь следует отметить удивительную элегантность изложенного выше доказательства. Первые доказательства этого результата были громоздки и основывались в значительной мере на физических соображениях.
4.4. Применение общей теории к уравнению КдФ
109
Найдем градиент G(u(t)) интеграла X(u(t)). В соответствии с определением (4.38) имеем
(d/de) X (и + ev) U0 = (G (и), v), (4.64)
где X определяется из ?ф = А/ф. Беря производную Фреше от последнего уравнения, имеем
Аф + ?ф = Аф + Аф, (4.65)
где L = (d/de) {(d2/dxl) + 1/6 (и + ev)} |е_0 = l/6v. (4.66)
Следовательно, (4.65) сводится к уравнению ‘Даф + ?ф =
= А.ф + Аф. Умножая его на ф и интегрируя по х от х = —оо до -|- оо, имеем
+ оо
А- = ^ l^v^2 dx = ^/6^2’ ^ ^4’67)
— оо
Здесь использованы следующие условия:
+°°
^ ty2dx=l (условие нормировки ф),
— ОО
