Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бхатнагар П. -> "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " -> 44

Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах — М.: Наука, 1989. — 134 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniesistemivodnorodih1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 52 >> Следующая


оо

и(х, t)=^ A (k) ехр [г {kx — со (k) /}] dk.

о

Однако в гл. 2 мы видели, что они имеют простейшие решения, описывающие однородные волновые цуги в движущейся системе координат | = х — ct, где с — скорость системы координат. Изучение именно этих стационарных решений позво-
5.2. Процедура усреднения

115

лит нам придать физический смысл указанным выше характеристикам волны: волновому числу, частоте, групповой скорости и т. д.

5.2. Процедура усреднения

Изучение уравнения КдФ показало, что оно допускает стационарное решение вида

Ф|2 = Р(Ф;С, At), (5Л)

что дает Ф = Ф (?; с, Л,-), ? = х — с/,

где At — константы интегрирования, число которых зависит от порядка уравнения относительно пространственных производных. В данной главе мы будем рассматривать только такие нелинейные уравнения, которые имеют решения вида (5.1).

Очевидно, что решение такого вида осциллирует между двумя последовательными нулями функции F, скажем Ф1 {c,Ai) и Ф2(с, Л,); причем Ф2>Фь при этом функция F в этом интервале положительно определенна. Условие положительной определенности F между Ф1 и Ф2 необходимо для обеспечения вещественности Ф|. Пусть ^ и |2— значения |, при которых

Ф&йс,А1) = Ф1(с,А1), Ф(^;С, Лг) = Ф2(с, Л(). (5.2)

Тогда по аналогии с линейной волной мы можем определить

длину волны X для нелинейной волны:

Ь

А, = А, (с, Лг) = 2 ^ dg = (5.3а)

= 2 J dФ/Фi = (5.36)

ф.

ф,

= 2 J dO/^/F (Ф, с, At), (5.3в)

ф,

и затем волновое число k определяется обычным образом:

k = к (с, Ai) = 2л/Х (с, At), (5.4)

а частота со — в виде

и = со (с, At) = ск (с, At). (5.5)

Для периода волны мы имеем следующее выражение:

Р = Р(с, At) = 2я/со (с, А,). (5.6)

Для краткости записи мы не будем всякий раз показывать

явно зависимость к, со, X, Р от с и Ai. Решение (5.1), где с и
116

5. Групповая скорость; нелинейные волны

Ai — константы, описывает волну локально. По прямой аналогии с линейными волнами мы можем получить более общее решение, полагая с и Л, медленно меняющимися функциями х и t. Далее будет разработан метод определения зависимости этих параметров от х, t.

Сначала мы должны ввести некоторую процедуру усреднения, чтобы исключить быстрые осцилляции полевых переменных, имеющие место на малых отрезках изменения (х ~ ~ К, t ~ Р). Только тогда можно рассматривать медленные изменения параметров с и Л,- и через них изменения параметров k, со и т. д. Чтобы избежать в процедуре усреднения потерю существенных изменений величин k, о и т. д., ограничимся рассмотрением временных и пространственных интервалов, много меньших чем Т и L. Предыдущее обсуждение предполагает введение функций от X и т, принимающих промежуточные значения

a<*<L, Р<т<7\ (5.7)

и поэтому мы определим среднее F(x,t) в произвольной точке х для фиксированного значения времени t соотношением

х+Х

F(x,t) = jx J F(x',t)dx'. (5.8)

х-Х

Для проведения усреднения Уизем записал основные уравнения в форме законов сохранения. Мы воспользуемся законом сохранения

Pt + Qx = О- (5.9)

Подвергнем его процедуре усреднения с целью получить дифференциальные уравнения для определения с и Л,-, которые не содержат х, t явно. Тогда

х+х

^ = S -Hrp(x',t)dx' = (P)t, (5.10а)

х-Х

х+х

Q* = JX S -?rQ(x',t)dx' = ^r[Q(x + X,t)-Q(x-X,t)] =

х-Х

х+Х

= ~hix S Q(x',t)dx' = (Q)x. (5.106)

х-Х

Таким образом, усредняя (5.9), получаем

-§tP(x, t, С, A,) + -§^Q(x, и С, At) = 0.

(5Л1)
5.2. Процедура усреднения

117

Уизем указывает, что преимущество выбора закона сохранения в качестве исходного уравнения состоит в том, что оба члена в уравнении (5.11) одного и того же порядка X/L. Если бы в нем фигурировал недифференцируемый член, скажем R, то для того, чтобы подсчитать его с точностью до порядка Х/L, потребовалось бы более детальное решение, чем

(5.1).

Заметим, что в уравнении (5.11) величины Р и Q по-прежнему зависят явно от х и t. Для устранения этой явной зависимости рассуждаем следующим образом. Интервал (х —

— X, х-f X), где X много больше к, содержит большое количество волн, для которых в силу (5.7) мы можем считать k, и и т. д. более или менее постоянными величинами. В этом случае мы можем заменить Р и Q соответственно величинами P(c,Ai) и Q(c, Ai), которые усреднены при сохранении k, со и т. д. постоянными на интервале (х — X, хX). Ясно, что в этом приближении возникающие ошибки имеют порядок к/L, Х/L, которые являются малыми величинами в силу (5.7).
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed