Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
(д/д0 (Ао/(с2 - 1)) + (д/дх) (Л/(с2 - 1)) = 0. (5.236)
120
5. Групппоая скорость; нелинейные волны
Так как нас интересует изменение волнового числа k, выраженного только через с в уравнении (5.20), и амплитуды а = 2Л, перепишем наши уравнения в виде
°2{+ 1/1 }+ “+ 1’{'+ 7^+т ”0>
+ + vAt}"0'
Комбинируя их соответствующим образом, в силу дисперсионного уравнения (5.21) получаем
kt + ш' (k) kx = 0, (5.24а)
at + со' (k) ах + (а/2) аз" (k) kx = 0. (5.246)
Эти уравнения имеют «двойную» характеристику
dx/dt — ю' (k), (5.25)
вдоль которой
k — const, (5.26а)
da/dt — — l/2a" (k) kxa. (5.266)
Итак, в случае линейного уравнения (5.14) система,определяющая изменения k и а, является параболической и существует только одна характеристическая скорость, которая равна групповой.
Общее решение уравнения (5.24а) имеет форму х —
— a'(k)t = f(k), где / — произвольная функция. Записывая это решение в форме x/t — а>'(k) = (\/t)f(k), для больших значений х и t находим
x = a>'(k)t. (5.27)
Из уравнения (5.266) видно, что, когда мы движемся с групповой скоростью, амплитуда изменяется как
a — aj^t. (5.28)
Таким образом, амплитуда убывает обратно пропорционально квадратному корню из t, что подтверждает общий результат, полученный в гл. 1.
Определим скорость распространения энергии. Пусть Ах — расстояние между двумя соседними характеристиками, отвечающими k и k-\-dk. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то в силу уравнений (5.25) и (5.266) производная по времени от изменения энергии между двумя характеристиками пропорциональна
(d/dt) (а2 Ах) = 2а Ах (da/dt) + a2 (d/dt) Ах = О (Дх)2. (5.29)
Значит, энергия также распространяется с групповой ско-
ростью. Так же как в линейной задаче, мы имеем одну характеристическую скорость, а именно групповую скорость.
5.3. Примеры
121
5.3.2. Нелинейное волновое уравнение
Изучим далее нелинейное волновое уравнение
Фн — <Рхх + V' (ф) = 0, (5.30)
где V (ф) — нелинейная функция, как предполагалось в
разд. 5.3.1. Как и в предыдущем разделе, мы можем легко
вывести уравнения сохранения
['/*Ф? + Ш + К], + [¦- ф,ф,], = 0, (5.31 а)
[-ФЛР/]< + [1/2Ф?+‘/2Ф?-К], = 0. (5.316)
Здесь стационарное решение дается формулой
Ф = Ф(|;с, Л), l = x — ct, (5.32а)
где ФЕ = [(2/(с2 - 1)) {A — V (Ф)}]1'2. (5.326)
Предполагая с2 > 1, А > К(Ф), получаем
6 = V(c2 - 1)/2 \ ёФ/л/А-У(Ф), (5.33а)
ф,
I = I (с, А) = д/2 (с2 —ТУ J ёФ/л]А - V (Ф) , (5.336)
ф,
где Ф] и Фг — нули уравнения
Л-У(Ф) = 0, (5.34)
между которыми левая часть последнего уравнения положительна. Следуя общей теории, рассмотренной в разд. 5.2, введем
й^(с, Л) = (с2-1)фф|^ф= (5.35а)
= У 2 (с2 - 1)" ф л/A-V (Ф) ёФ = (5.356)
= У?^Т G (Л), (5.35в)
где G (А) = У2Г ф УЛ — V (Ф) йФ (5.36)
зависит только от Л и не зависит от с. Дифференцируя по А, получаем
0'(Л) = -4=ф . = . 1 ...(5.37)
¦у/2 J VА — V (Ф) л/с2—1 J Vе — 1
X
G"(A) =-------^<6-------—-----ш = ~ТТ-- W2 (5-38)
v ' 2^ J (Л-V (Ф)}3/2 (с2 - l)3/2 J Ф?
122
5. Групповая скорость; нелинейные волны
Мы можем также записать G(A) в виде
я
G(y4) = $(c2-l)a>!dg>0. (5.39)
О
Беря частную производную (5.35в) по А, из (5.37) находим
WA = Vc2- 1 G' (Л) = К (с, А). (5.40)
Определим волновое число k соотношением
А=1Д=1/В7Л, или Ш А = 1, (5.41)
где мы для удобства опустили множитель 2л. Как только определена длина волны К, сразу можно вычислить средние значения р(Ф) интегрированием в пределах длины волны:
я
~рЩ = (1/Л) j р (ф) dl = k § (р (Ф)/Ф|) йФ. (5.42)
о
В силу предыдущего определения среднего значения имеем г/2Ф?+‘/2Ф2 = '/2 (с2+ 1)Ф| = Ък [(с2 + \)/(с2 - 1)] Г, (5.43а)
- = [kc/(c2 — 1)] W, (5.436)