Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бхатнагар П. -> "Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах " -> 39

Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.

Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах — М.: Наука, 1989. — 134 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniesistemivodnorodih1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 52 >> Следующая


Теорема 3. Собственные значения симметричного оператора L, где и эволюционирует согласно уравнению ut = К (и),

U

не зависят от времени t, если L — унитарно эквивалентный

U

оператор. Следовательно, собственные значения Я оператора L являются «интегралами» уравнения эволюции.

U

Камнем преткновения является вопрос о существовании антисимметричного оператора А, удовлетворяющего уравнению (4.24). В случае уравнения Шредингера мы можем построить такой антисимметричный оператор, тогда как в общем случае мы будем лишь предполагать о его существовании.

Если оператор L может быть выражен в форме L = L0 +

U и

+ М, где L0 не зависит от и и М линейно зависит от и, то

U U

теорема 3 может быть сформулирована в измененной форме. Подобного рода ситуация возникает в случае оператора Шре-диигера: L = d2/dx2 + 1 Дм, который симметричен и может быть выражен в вышеуказанной форме, если взять L0 = d2/x2 (не зависит от и),

М = '/6м (зависит линейно от и). (4.26)

U

Теорема 4. Пусть L — симметричный оператор, зависящий

U

от функции и, являющийся решением уравнения

Щ = К («). (4.27)
4.3. Решение типа уединенной волны общего уравнения эволюции 103

и пусть он может быть выражен в следующем виде:

L = L0 + M, (4.28)

U U

где Lo не зависит от и, а М зависит линейно от и. Предпо-

U

ложим, что существует антисимметричный оператор А, зависящий от и, такой, что

\А, L} = М , (4.29)

и К (и)

тогда собственные значения L являются «интегралами» урав-

U

нения (4.27).

Доказательство. Опуская индекс и при L, имеем Lif =

U

= /,0г|з + Мф. Дифференцируя по t, получаем

Lfij} + Ltyt = L0tyt + МгФ + Mtyt, или Lt = Mt. (4.30)

и и и

Так как М зависит линейно от и, то Mt зависит линейно от

U

Ut, т. е. от К (и). Следовательно, Lt = M, и из уравнения

и К (и)

(4.29) получаем Lt = \_А, L\. Таким образом, L является унитарно эквивалентным при и, удовлетворяющем (4.27). Теорема доказана.

4.3. Решения типа уединенной волны общего уравнения эволюции

Будем предполагать выполненными следующие теоремы существования и единственности для уравнения эволюции:

nt = К (и). (4.31)

Теорема существования. Существует решение уравнения

(4.31), соответствующее начальному условию и(х, 0) при условии его достаточной гладкости и стремления к нулю со своими производными любого порядка при |je|-»-oo.

Теорема единственности. Данное начальное условие, удовлетворяющее условиям теоремы существования, определяет единственное решение уравнения (4.31).

В рамках сделанных предположений мы сначала свяжем линейное вариационное уравнение с однопараметрическим семейством решений уравнения (4.31). Можно построить однопараметрическое семейство решений уравнения (4.31), сделав начальные условия функциями параметра е:

иЕ (х, 0)= и0 (х) + е/ (х). (4.32)

В соответствии с начальными данными (4.32) мы имеем однопараметрическое семейство решений уравнения (4.31) Me (х, t), которое для малых значений е можно записать в виде Ые (*> t) = и (х, t) + еи (х, t) +О (е2), (4.33)
104

4. Общее уравнение эволюции

где u(x,t)—решение уравнения (4.31), соответствующее начальному значению и(х0), но v(x,t) не есть решение уравнения (4.31). Далее установим уравнение эволюции для v. Для этого потребуем следующее: оператор К (и) зависит от и гладко, т. е. функция

(d/de) К (и + ev) |е-=0 = V (и) v (4.34)

определяется единственным образом и является линейной функцией от v, тогда V (и) называется вариацией К. Заметим, что левая часть (4.34) есть производная функция К (и) в смысле Фреше. В дальнейшем мы будем обозначать производную Фреше от функции точкой над функцией. Дифференцируя (и + ev) t = К (и + ev) по е и полагая е = 0, с помощью (4.34) получаем

vt — V(u)v. (4.35)

Уравнение (4.35) называется вариационным уравнением для

v = (dujde) |е_0. (4.36)

Пусть I(и)—интеграл уравнения (4.31). Предположим, что I(и) дифференцируем по Фреше, т. е. существует

(d/de) I(u + ev) |е=0, (4.37)

и является линейным функционалом от v, который можно представить в виде (G(u),v), так что можно написать
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed