Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
+ 00
Пример. Пусть D — d/dt и (фг|з) = ^ фг|idt— скалярное
— оо
произведение в L2,определенное в гильбертовом пространстве
100
4. Общее уравнение эволюции
И, и ф, -ф е Н. Тогда
— оо -f со
(Ар, -ф) = ^ (dq>/dt) -ф dt = — ^ ф (dty/dt) dt — (ф, —/>ф).
— оо —оо
Поэтому D — антисимметричный оператор. Рассмотрим теперь выражение
-f оо -f оо
(D2ф, -ф) == ^ (d2<p/dt2) -ф dt — ^ Ф {d2\!p/dt2) dt = (ф, D2if).
— оо —оо
Поэтому D2 — симметричный оператор.
В общем случае можно легко показать, что для данного скалярного произведения следующие операторы являются соответственно антисимметричными и симметричными операторами порядка 2q + 1 и 2q\
B29+i = ?2<?+i + ? (bjD2‘~l + (4.19a)
B2q = D2* + ? (bjD2> + D2ib,). (4.196)
/=i
Заметим, что каждый из этих операторов содержит q неизвестных функций bj, j= 1, 2, ..., q. Заметим также, что мы могли бы доказать симметричность D2 непосредственно, без применения интегрирования:
(?>2Ф, г|))==(Дфф), ф) = (?)ф, (— /)) ф) =
= (Ф, (- D) (- D) ф) = (Ф, (4.20)
откуда (D2)* = D2.
В общем случае, когда мы не вводим конкретной нормы, мы можем доказать те же свойства при условии, что скалярное произведение, т. е. билинейный функционал ( , ), инвариантно по отношению к сдвигу: (/(х), g(x)) — (f(x -f- z), g(x-\-z)). Дифференцируя это выражение по г и полагая z = 0, получаем
(Df, g) + (/, Dg) = 0, или (Df (х), g (х)) = (/ (х), (— D) g (*)),
т. е. D* = — D. (4.21)
Результаты для производных высшего порядка можно получить при помощи вышеуказанного приема.
Чтобы объяснить смысл определения (4.2.5), докажем следующую теорему.
4.2. Определения
101
Теорема 1. Если U(t) — унитарный оператор, определенный на гильбертовом пространстве, то Ut = AUl), где А — антисимметричный оператор, зависящий от t.
Доказательство. Так как UU* = U*U = /, после дифференцирования по t получаем
UtU* + U(U*)t = 0 и (U*)fU + U*Ut = 0,
так что Ut~ — U (U*)t (UT1 = — U (LT)t U = AU, (4.22)
(U*)t = - U*UtU\ (4.23)
где A = — U(U’)t, так что A* = — [(?/*)<]* U* = — UtU*,
при условии, что [(?/*)<I* = Ut, т. e. при условии, что операции сопряжения и дифференцирования по t перестановочны. Докажем, что это так.
(?/ф, г|э) = (ф, U*'ф), ф, г|)ей,
поэтому, дифференцируя по t, получим (Ut<p, г|з) = (ф, (U*)tty). Кроме того, по определению оператора, сопряженного Ut, имеем ((Ut)y, г|з) = (ф, (Ut)*ty). Следовательно, (U*)t = (Ut)*, т. е. [(?)*)<]* = Ut. Из (4.23), используя свойства U(t), выведенные в п. 4.2.4, имеем
Л* = - UtU* = (t/y1 (U\ = U (U*)t = — Л.
Таким образом, А* = —А. Это завершает доказательство теоремы. Обратная теорема также верна.
Важным следствием этого результата является тот факт, что унитарные операторы образуют однопараметрическое семейство. Докажем теперь теорему, которая составит основу для наших рассмотрений.
Теорема 2. Если L(t) — унитарно эквивалентный оператор, то существует антисимметричный оператор А, зависящий от t, такой, что
Lt = [A,L], (4.24)
где [A, L] = AL — LA — коммутатор А и L.
Доказательство. L(t) — унитарно эквивалентный оператор, значит, существует однопараметрическое семейство операторов, удовлетворяющих (4.18). Вычислим сначала (U~l)t-Пусть F = Uf, так что f — U~lF. Тогда
ft = [U~']t F + U~lFt = [С/"1], F + U~l [Utf + Uft],
или [U~l]tF = — U~lUtf = — U~lUtU~lF.
В оригинале вместо буквы А употреблена буква В. Переобозначение связано с почти стандартным термином (L — Л)-пары, принятым в литературе.— Прим. перев.
102
4. Общее уравнение эволюции
Таким образом, получаем
[U~ll = -U-lUtU-1. (4.25)
Подставляя уравнения (4.22) и (4.25) в уравнение (4.18), имеем
- U~lALU + U~lLtU + U~'LAU = 0, или Lt = AL — LA — [A, L\.
Теорема доказана.
Понятие унитарной эквивалентности очень важно для дальнейшего рассмотрения. Пусть L — унитарно эквивалентный оператор при изменении t и Lty = А/ф, так что Я— собственное значение оператора L. Тогда существует унитарный оператор U, такой, что U~lLU не зависит от t. Отсюда следует, что собственные значения оператора U~XLU также не зависят от t. Заменяя г|з = U ф и умножая уравнение ?г|з = Яф слева на U~\ получаем (U~lLU)ф == Яф. Таким образом, собственные значения унитарно эквивалентного оператора L не зависят от времени. Итак, мы доказали следующую основную теорему.
