Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Галактики движутся вдоль линий (х, в, ф) = const. Сопутствующими называются координаты в такой системе отсчета, которая движется вместе с частицами вдоль линий тока. Во всех наших симметричных пространствах сечения х = const представляют собой 2-сферы, размер которых зависит от х. а метрика пропорциональна dQ2.
Пространство, именуемое 3-сферой, обладает метрикой
Sf = R2 (dX2 + sin2 X dW). (37.9)
О
Рис. 37.3
2-сфера как объединение окружностей. 37. Модели пространства-времени Робертсона—Уокера
311
где координата х меняется на сей раз лишь в пределах от О, что соответствует одному полюсу, до т, что соответствует другому полюсу, a R — постоянная, имеющая размерность длины и называемая радиусом 3-сферы. Радиусы сечений, представляющих собой 2-сферы, выражаются теперь величиной Я sinx- Наибольшая 2-сфера в рассматриваемом пространстве имеет радиус R.
Пример 4
В случае когда 2-сфера разбита на 1-сферы, радиусы последних задаются величиной Rsin0, где R—радиус 2-сферы, а в — обычная сферическая координата. Как и в рассмотренном выше случае, радиус 1-сферы имеет максимальную величину для точек на экваторе. Таким образом, 3-сфера содержит экваториальную 2-сферу, задаваемую в наших координатах соотношением X = ''/2.
Наконец, 3-псевдосфера имеет метрику
9 = R2 (dx2+ Sh2 X dQ2), (37.10) Псевдосферы
где X изменяется от нуля до бесконечности. Чтобы избежать постоянных повторов в написании трех почти одинаковых соотношений, введем функцию S(x), равную соответственно X. sinx или shx для евклидова 3-пространства, 3-сферы и 3-псевдосферы. В случаях как 3-сферы, так и 3-псевдосферы координата х имеет простой геометрический смысл. Например, расстояние «вокруг» 3-сферы, измеренное по координате х. в точности равно 2т. В евклидовом же случае не существует никакого внутреннего определения X. в расчеты входит лишь произведение (Rx)- Этот случай характеризуется более высокой степенью симметрии, что находит свое отражение в геометрии: в евклидовом пространстве для каждой фигуры можно построить ей подобную, чего нельзя сделать ни в одном из двух других симметричных пространств.
Пример S
Упомянутое выше отсутствие подобных фигур легко проде- Подобные фигуры монстрировать на примере 2-сферы. На рис. 37.4 изображен сферический треугольник, стороны которого образованы большими окружностями, пересекающимися под прямыми углами в каждой из трех вершин. Треугольник, подобный данному, но вдвое меньшего размера, построить невозможно. При попытке сделать это углы получатся меньше прямых. 312
Гл. IV. Космология
\ / Рис. 37.4
\ / Истинно прямоугольный тре-
—----------угольнж.
Динамические модели Мы будем применять модели Вселенной, каждая из кото-
рых содержит пространственные сечения, представляющие собой симметричные 3-пространства. Размеры таких пространственных сечений могут зависеть от времени, а поскольку мы собираемся описывать эволюционирующую Вселенную, они действительно будут зависеть от времени. Если теперь предпринять попытку распространить условие однородности пространства на все пространство-время, то мы получим космологические модели, в которых все моменты времени эквивалентны между собой. Такие модели не допускают эволюции, и ни одна из них не совместима с общей теорией относительности. Были предложены модели с такой симметрией, построенные на основе других теорий гравитации. Они называются моделями стационарной Вселенной. К сожалению, такие модели противоречат обшей теории относительности, хотя само по себе это обстоятельство и не является для них роковым1'. У нас все еще нет твердой уверенности в том, что общая теория относительности правильно описывает гравитационное поле столь больших объектов, как наша Вселенная. Тем не менее упомянутые стационарные модели не в состоянии объяснить эволюционных проявлений во Вселенной, и поэтому в настоящее время они не в ходу.
Космическое время Вводя в рассмотрение эволюционирующую Вселенную, мы
тем самым специальным образом выделяем временную координату. При этом любое изменяющееся свойство Вселенной играет роль «часов». Так, например, в качестве универсальной
'' Отметим, что исторически первая космологическая модель — статическая Вселениая Эйнштейна, построенная на основе уравнений обшей теории относительности, дополненных космологическим членом, — была моделью такого типа. — Прим. ред. 37. Модели пространства-времени Робертсона—Уокера
313
временной координаты можно использовать температуру микроволнового фонового излучения. Такое время не измеряется часами в духе специальной теории относительности. Эти космические «часы» нелокальны. Регистрируемое в настоящее время микроволновое излучение приходит к нам из далекого прошлого и с огромных расстояний. Применение таких «часов» для определения универсального времени никоим образом не противоречит специальной теории относительности. Вместе с тем универсальное время весьма напоминает ньютоново абсолютное время.
Наиболее общее пространство-время, которое эволюциони- Модели пространства-времени рует и вместе с тем обладает симметричными пространствен- Робертсона —»Уокера ными сечениями, имеет следующую метрику:
