Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
[Подробнее об однородности и изотропии реальной Вселенной будет рассказано в разд. 50.]
Однородность и изотропия
[В примере с электропроводностью в разд. 21 рассматривался однородный, но неизотропный материал.] _
Сфера
означает симметрии в более ранние моменты времени. Точно так же симметричный огненный шар ядерного взрыва не означает симметрии конструкции ядерной бомбы.
Чем характеризуется максимально возможная степень симметрии пространства? Во-первых, одна точка должна быть неотличима от другой. Во-вторых, одно направление должно быть неотличимо от другого. Первое из этих свойств называется однородностью, второе — изотропией. Такой максимально возможной степенью симметрии обладает евклидова плоскость. Другим примером является поверхность сферы.
Пример 1
Чтобы доказать, что поверхность сферы однородна, найдем преобразования, которые оставляют метрику неизменной, но переводят одну произвольную точку в другую. Такие преобразования, сохраняющие метрику, называются изометриями. Одно из них — поворот вокруг Северного полюса, другое — поворот вокруг точки на экваторе. Комбинируя эти преобразования, можно перевести одну произвольную точку в другую. Таким образом, поверхность сферы представляет собой однородное пространство.
Коль скоро однородность уже доказана, т.е. все точки на поверхности сферы эквивалентны, достаточно показать изотропию в какой-либо одной точке. Посмотрим с этой целью на Северный полюс. Повороты вокруг Северного полюса являются изометриями и могут преобразовывать одно произвольно заданное направление в другое. Таким образом, поверхность сферы является также изотропной.
Полуплоскость
Пример 2
Что можно сказать относительно множества точек в верхней полуплоскости, у > 0, с метрикой
+ (37.1)
У
Одним из примеров изометрии на этом многообразии может служить трансляция Td на конечное расстояние d:
Td: (х,у) і-* (x + d,y).
(37.2)
Ввиду явной зависимости от у трансляция вдоль у не обладает свойствами изометрии. Может показаться, что других изомет- 37. Модели пространства-времени Робертсона—Уокера
309
рий нет, но тем не менее они существуют. Рассмотрим «растяжения» Ea.
Ea: (*,>>) н-» (ах,ату). (37.3)
Такие «растяжения» также оказываются изометриями. Чтобы обосновать это утверждение, покажем, что в новых координатах метрика S имеет такой же вид, как и в старых. Из координатных преобразований
х' = вех,
получим
вследствие чего
у' =ау
dx' і-» a dx, dy' і-» a dy,
dx'2 + dy'2
^ (У)2 ¦
(37.4)
(37.5)
(37.6)
Метрика в новых, штрихованных координатах имеет тот же функциональный вид, что и в старых, поэтому рассматриваемое преобразование представляет собой изометрию.
Действие этого преобразования показано на рис. 37.1. Кривая AB, являющаяся геодезической (задача 34.5), переходит в кривую А'В'. Поскольку метрика при таком преобразовании остается неизменной, длины упомянутых кривых должны совпадать.
Существуют всего три различных однородных и изотропных л-мерных многообразия. Одно из них — евклидово л-про-странство, л-мерный вариант плоскости, другое — л-мер-ный вариант сферы и третье — пространство отрицательной кривизны, именуемое псевдосферой. Перечисленные три типа симметричных пространств отвечают соответственно евклидовой геометрии и двум неевклидовым геометриям, открытым Гауссом, Лобачевским и Бойяи. Одно из представлений двумерного варианта псевдосферы описано в приведенном выше примере 2. В указанном представлении изотропия такого пространства не очевидна, однако можно перейти к другим координатам, в которых изотропия выступает явно. Несколько еле-„ дующих разделов мы посвятим изучению геометрии 3-сферы и 3-псевдосферы. Кстати сказать, сейчас как раз настало время привести метрику, описывающую каждое из этих пространств. При этом мы будем использовать такие координаты, которые
[Если необходимо, освежите в памяти рассмотрение этого вопроса в разд. 20.]
Рис. 37.1
Растяжение относительно начала координат. Оно представляет собой изометрию полуплоскости Пуанкаре.
Симметричные пространства
[Мы не собираемся здесь доказывать, что существуют только три таких симметричных пространства. Неформальное доказательство приведено в гл. 10 книги [25].] 310
Гл. IV. Космология
Евклидовы пространства
Сферы
Рис. 37.2
Евклидова плоскость как объединение окружностей.
Сопутствующие координаты
максимально схожи со сферическими полярными координатами. Пространства ^3 с евклидовой геометрией могут быть представлены следующим метрическим тензором:
Sf = R2Idx2 + X2 (dd2 + sin 20</ф2)]. (37.7)
Мы обозначили безразмерную радиальную координату буквой X, чтобы отличать ее от- обычной радиальной координаты. Тензор
dSl2 = dO2 + sin2 в d<l>2 (37.8)
описывает метрику на 2-сфере, т.е. на поверхности обычной сферы. В силу изотропии все наши симметричные пространства обладают сечениями, которые выглядят как 2-сферы.
Пример 3
Сечения как евклидовой плоскости, так и самой 2-сферы представляют собой окружности, т.е. 1-сферы. Эти окружности показаны на рис. 37.2 и 37.3.
