Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
§ 141. Низкоэнергетическая теорема для рассеяния фотона на адроне
В пределе малых частот сечение рассеяния фотона на всякой неподвижной заряженной частице стремится к своему классическому значению, даваемому формулой Томсона. Этому пределу соответствует не зависящая от частоты фотона ш амплитуда, ко-
690
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ
[Гл. XIV
торую обозначим через M\f. Оказывается, однако, что и для рассеяния фотона (как и для рассмотренного в предыдущем параграфе тормозного излучения) не зависит от деталей электромагнитной структуры адрона не только этот первый, но и следующий член разложения амплитуды по степеням со:
Mfi = M?> + M\}\ (141,1)
где М(1)~со (F. Е. Low, 1954; М. Gell-Mann, М. L. Goldberger, 1954).
Рассматриваемый процесс изображается диаграммами трех видов:
к'
\
\
/
/
Р
из которых первые две снова характеризуются наличием одночастичного промежуточного состояния и потому обладают полюсной особенностью.
Вся аргументация и принципиальная сторона вычислений остаются теми же, что и в § 140. Достаточно фактически вычислить лишь вклад от полюсных частей диаграмм (141,2, а —б), причем электромагнитные вершины в них выражаются через статические формфакторы (заряд Ze и аномальный магнитный момент |лан) согласно (140,15).
Однако, в отличие от случая тормозного излучения, интересующие нас теперь поправки к сечению комптон-эффекта существуют лишь для частиц со спином. Дело в том, что в случае тормозного излучения кроме поправок, связанных со спином, имеются также поправки, связанные с энергетической зависимостью амплитуды «упругого» процесса. Но в данном случае роль последней играют формфакторы, которые для «физических концов» сводятся к постоянным и от энергии не зависят. Поэтому для рассеяния фотона поправки возникают только за счет магнитного момента, отсутствующего у частиц без спина. Ниже мы рассматриваем рассеяние фотона на адроне со спином 1/2.
Понимая под Mfi вклад в амплитуду рассеяния от полюсных диаграмм, имеем (ср. (86,3—4))
р+к
а)
к
\
/
Р Р' Р
В)
(141,2)
Mfi = — 4я (Ze)2 e';ev (u'Q»vu),
(141,3)
§ 141] НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА
691
где
Q^v = (Yn + 5-и) (Vv_sv) + (Yv_Sv} чр-чЬ'а+м (y»+S'%
(141,4)
s = (p + kf = {p'+k’Y, u = {p — k')- = (p' —kf и для краткости введены обозначения
^а1У%. = ZeS^, [гана)Я?^я = ZeS,il.
Переставляя операторы ур-\-М и учитывая уравнения
и' (ур' — Щ = (УР ~~ Щ w = О,
можно преобразовать это выражение к виду
(141,5)
Q
HV
[<¦
,и _j_ ?'Uj (У^) Vv +2pv
2 (pk) г 2 (p'k)
_ ГУц (yfe')+2/?'ц ov I cv У^ (Ук’)~2р»~\ _
L 2(р'*') 0+0 2(рА') J
Гс'ц ур+у?+М cv cvyP—У*' + м " 2 (pk) Ъ 2 (pk)'
S'tl] . (141,6)
Такая форма записи (и аналогичная с переставленными k и k') делает очевидной калибровочную инвариантность выражения
(141,3), условием которой являются равенства
k^'Q^u) = ^:Qwu)K = О О41.7)
(при проверке надо помнить, что (yk)(yk) = 0, kS — k'S' = 0).
Поскольку полюсная часть амплитуды рассеяния оказывается, таким образом, калибровочно-инвариантной уже сама по себе, то должна быть инвариантной сама по себе также и регулярная часть амплитуды (включающая в себя и вклад диаграммы (141,2, в). Отсюда в свою очередь следует, что разложение этой части по степеням k и k’ должно начинаться с квадратичных членов (ср. аналогичное замечание в связи с условием (127,5)). Другими словами, регулярная часть амплитуды содержит лишь члены, начиная с пропорциональных coco' ~ со2, т. е. не дает никакого вклада в интересующие нас чледы, пропорциональные со6 и со1. Все последние содержатся, следовательно, в выражении (141,3).
Для их фактического вычисления выбираем лабораторную систему отсчета, в которой покоится начальный адрон. Для фотонов же выбираем трехмерно поперечную калибровку,в которой е0 = е' = 0. Тогда ре = 0, р'е’*~ |р'|~со, и из (141,6) сразу видно, что первые члены разложения Mfi будут пропорциональны со0, а члены, содержащие (хан, дадут вклад лишь в члены, пропорциональные со1.
692 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ [Гл. XIV
Волновые амплитуды начального и конечного адронов в лабораторной системе отсчета с нужной точностью имеют вид
и=ут(™), u'=vm(w'\-^(к-к')о
О J > " Г ^ , 2М,
где w, w' —трехмерные спиноры.
Прямое вычисление приводит к следующему результату:
MfP = — 8л; (Ze)2 (е'*е) (w'*w), (141,8)
М/Р — — 16ш (w'*aw) [[n'e'*] [ne]] —
— 4ni Ze(iaHo) (w'*aw) {n ([ne] e'*) + [ne] (ne'*) —
— n' ([n'e'*]e) —[n'e'*](ne) —2[e'*e]} (141,9)
(где n = k/(o, n' = k'/co').
Сечение рассеяния
(см. (64,19)). Для рассеяния на заряженной частице отличны от нуля как Mft, так и М\Т. Принятая точность допускает при этом сохранение в квадрате | Mfi f членов j MfP |а и Re (М\ТМ\}^). Первый дает томсоновское сечение. Второй же обращается в нуль при усреднении по поляризациям фотонов и адронов. Поэтому при рассеянии на заряженном адроне рассматриваемые поправки проявляются только в поляризационных эффектах.
Для рассеяния же на электрически нейтральном адроне М^ = 0 и сечение определяется квадратом | Al/P [3. После усреднения по поляризациям конечных и суммирования по поляризациям начальных частиц оно оказывается равным (в обычных единицах)
