Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
а просуммировав эти равенства по п (от 1 до сю), найдем интегральное? уравнение, определяющее функцию А (?, г)):
A {I, 4) = l+-?j^&, (137,22)
Ei > %, s > Si > О, Г] > rii > 0.
Для дальнейшего будет достаточно рассмотреть функцию Л(|, л) в области | > т]. Тогда уравнение (137,22) можно записать в виде
Т1 1
ЛЙ,т1)=1+^]‘]‘ iii)^i^i- (137,23)
0 rii
Дифференцируя это равенство по tj, имеем
'tidZi, (137,24)
Г]
а дифференцируя затем еще и по ?, находим для А (?, г)) дифференциальное уравнение
<137-25)
Это уравнение должно быть решено с граничными условиями
г\А
да, 0)=1, ^Е=Т1 = 0, (137,26)
непосредственно следующими из (137,23—24).
Решение можно получить с помощью преобразования Лапласа по переменной \\
y]) = ^i^ePlQ{p, r\)dp, (137,27)
с
где контур С в плоскости комплексного р—замкнутая кривая, 22*
676
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. XIII
охватывающая точку р = 0. Подставив (137,27) в уравнение (137,25) и приравнивая нулю подынтегральное выражение, получаем
где ф(р)—произвольная функция. Первое из граничных условий (137,26) дает теперь ф(р) = 1/р + гр(р), где 'ф(р)—аналитическая функция, не имеющая особенностей внутри контура С. Второму же условию (137,26) можно удовлетворить, положив (р) = — 2яр/а; действительно, тогда
Собирая полученные выражения и положив | = ti = ct, находим
Наконец, проинтегрировав по частям и воспользовавшись извесг ной формулой
([i(z) = — iVj (tz) — функция Бесселя мнимого аргумента), получим окончательно для амплитуды рассеяния
Сечение же рассеяния (на угол 0 = я) соответственно равно
где doa) — сечение в борновском приближении в ультрарелятивистском случае (см. задачу 6, § 81)*).
*) Дополнительные литературные ссылки по дважды логарифмическим асимптотикам можно найти в обзорной статье Горшкова В. Г. — УФН, 1973, т. 110, с. 45.
дА дц s=n
С
А(°’ а>>=~ы^1ртРехр [a[p+?h)]dp'
с
с
(137,28)
da=zdo{1)
ГЛАВА XIV
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ
§ 138. Электромагнитные формфакторы адронов
До сих пор в этой книге речь шла о квантовой электродинамике частиц, не способных к сильным взаимодействиям, — электронов, позитронов и мюонов. Существует также большое число частиц, участвующих в сильных взаимодействиях; их называют адронами1). Адронами являются, например, протоны и нейтроны, имеющие спин 1/2, я-мезоны со спином 0 и другие частицы. Адронами, разумеется, являются и атомные ядра, так как они состоят из протонов и нейтронов.
Построение исчерпывающей электродинамики адронов в рамках существующей теории невозможно. Ясно, что нельзя составить уравнений, определяющих электромагнитные взаимодействия адронов без учета значительно более интенсивных сильных взаимодействий. В частности, без учета последних нельзя установить и явный вид адронного тока, с помощью которого должны описываться взаимодействия в квантовой электродинамике. В этой ситуации адронный ток вводится как феноменологическая величина, структура которой устанавливается лишь исходя из общих кинематических требований, не связанных с какими-либо предположениями о динамике взаимодействий2). Оператор же электромагнитного взаимодействия будет иметь по-прежнему вид
e(JA), (138,1)
где теперь ток обозначен прописной буквой J (в отличие от электронного тока /). Поскольку порядок величины этого взаимодействия задается тем же элементарным зарядом е, то можно rio-прежнему пользоваться методами теории возмущений3).
Установим вид тока перехода между двумя состояниями свободно движущегося адрона (не сопровождающегося каким-либо
!) От греческого слова «хадрос», означающего крупный* массивный.
2) Вопросы электродинамики адронов, связанные с кварковой моделью, в этой книге не рассматриваются.
3) В этой главе е обозначает элементарный заряд (е > 0).
078 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ [Гл. XIV
превращением самого адрона). Этот ток входит в «треххвостку»
(138,2)
Рг Pi
которая сама может входить как часть в какую-либо более сложную диаграмму (например, упругого рассеяния электрона на адроне). Пунктирная линия в диаграмме (138,2) изображает виртуальный фотон; она не может отвечать реальному фотону, так как свободная частица не может поглотить (или испустить) такой фотон. При этом <?2 = (р2 —Pi)2 < 0.
Рассмотрим сначала адрон со спином 0. Пусть иг и ы2 —волновые амплитуды начального и конечного состояний адрона, в которых он имеет 4-импульсы р1 и р2; для частицы со спином 0 эти амплитуды — скаляры (или псевдоскаляры)1). Адронный ток перехода Jfi между этими двумя состояниями должен быть билинеен по их и и\. Запишем его в виде
Jfi = ulTu1, (138,3)
где 4-вектор Г — неизвестный вершинный оператор (кружок на диаграмме (138,2)). Если положить и1 — и2 = \, то будет просто Jfi=T.
Универсальным свойством тока в электродинамике, связанным с калибровочной инвариантностью теории, является его сохранение. В импульсном представлении оно выражается ортогональностью тока перехода 4-импульсу фотона q = p2 — p1:
qjfi = 0. (138,4)
В данном случае это значит, что Г должно иметь вид
T = PF{q% (138,5)
где /5=pi-fp2, a F (q2) — скалярная функция единственной инвариантной независимой переменной— квадрата q2. Поскольку
