Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(137,1)
s = — и = 0.
(137,2)
Ре
(137,3)
PJL
Соответствующая амплитуда: д/d, 4да ,
(137,4)
672 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [Гл. XIII
скости ре, р'е составляющими являются матрицы 1 --(УРе + УРеЪ -77= (у Ре— У Ре)
' ие>' \П
(первая совпадает с у0, а вторая равна пеу, где пе — орт направления ре). Используя уравнения Дирака для биспиноров и{е) и иф), найдем, что (ит'у^ит) (uie)'yv:u{e)) ~ \/s, и потому эти члены могут быть опущены.
В следующем приближении добавляется диаграмма
f
ре-*------рг------Г*— ----
Ы ! \p*-f (137,5)
—*
и диаграмма с «перекрещенными» фотонными линиями, которую удобно изобразить в виде, отличающемся от (137,5) лишь направлением одной из сплошных линий:
f
ре ¦* р р------------рд
Г-Р*\ \Pe-f (137,6)
^ pjrp,*fl 1 *~Р?
Исследование соответствующих интегралов показывает, что в обеих диаграммах возникают дважды логарифмические вклады от областей «мягких» виртуальных фотонов: | (f~pe)‘21 <^.т\ или | (/ — р'е)21 <^т\. Эти вклады связаны с инфракрасными расходимостями интегралов и, согласно сказанному выше, в данном случае заведомо должны взаимно сокращаться. В диаграмме
(137,6) имеется, однако, дважды логарифмический вклад еще и
от области больших импульсов: |/? Именно этот вклад
и должен быть вычислен.
Диаграмме (137,6) отвечает интеграл
ЛЛ«>— Г (foe>'yv (у[+те) yyt<*>) {йт" у% (у/ + тц) yvum) ,4f , n-
n*J (/*-«?) (p*-/)*
(где уже учтено, что ре» р’)Х). Положим снова
/ ~ liPeJTvPeJr fj. (i37,8)
(ср. (135,13)). Дважды логарифмический вклад возникает от области, определяемой неравенствами
ftl2,
jsuj, Isvj^-p^ml; -/<1Я l> 1v К (137,9)
§ 137] ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ 673
где р = —/I- 4-вектор определен так, что fxpe = fxP'e = О; в данном случае (рассеяние назад) отсюда следует, что в системе центра инерции /1 = 0, так что p = f'i.
В числителе интеграла (137,7) можно пренебречь те, тц, а также всеми членами с и или v\ множители и или v в числителе сокращают соответствующие полюсы в знаменателе (см. ниже), в результате чего не возникают требуемые квадраты логарифмов. Заметив, что (p'e — ff^tuw — su, — m — sv, f2&suv — p, и преобразуя элемент интегрирования d4f согласно (135,16), переписываем интеграл (137,7) в виде
Mft = -р; fv/x) y^.sdudvd'f,..
}l 2л2 J su>sv (suv — p + гО)2 1 х
Числитель подынтегрального выражения преобразуется далее путем усреднения по направлению fj_ и замены (по тем же причинам, что и в (137,4)) yv, ук на yI> После простых преобразований получим
= —(137,10)
Наконец, заменив в числителе тождественно р = (р — suv) -\-suv, можно опустить второй член, который сократил бы простые полюсы и тем самым не дал бы дважды логарифмического вклада. Таким образом,
jw = —p. ^ d.u. dvdP (137,11)
4лг J uv (р—suv—10) v '
Этот интеграл по форме совпадает с (135,20), поэтому интегрирование по dp производится тем же способом. Однако поскольку теперь р то возникает условие suv^>ml (вместо
suv > 0). В результате находим
'“’-ж!*!?- <137'12>
причем область интегрирования ограничена неравенствами
ТП2
-j- < и, у < 1, suv > ml
(при вычислении с логарифмической точностью сильные неравенства заменяются простыми неравенствами >). Прямое вычисление дает
^ = (137,13)
В более высоких приближениях теории возмущений интересующие нас вклады ~ап In2" s получаются от аналогичных (137,6) диаграмм «лестничного» типа с большим числом «перекладин».
674 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [Гл. XIII
Поэтому полная дважды логарифмическая асимптотика амплитуды рассеяния дается бесконечной суммой
Ре •* г* ре •*---г* [< .. '<.. |<-1< т* —
iMc• = 1 4- 11 4- ! I I 4-
‘ "Л | ^ || ^ | I | т..
PjL—*J—*-/? —^—> ------>' >' >' »
(137,14)
Для установления общего вида членов этой суммы рассмотрим еще диаграмму третьего приближения (третий член ряда
(137,14)). Соответствующий ей интеграл можно привести к виду
Vf--------dutdviduzdvz (137| 15)
' I \2л J J UlV1 («!+ иг) (c-’i —v3)
с областью интегрирования
ml/s < ии а, vu 2 < 1, sUjVj, su2v2 > m?.
Дважды логарифмическую часть этого интеграла можно выделить, наложив на переменные интегрирования еще условия
v2p>vlt (137,16)
Тогда
где i,- = ln (sui/ml), % =— 1пу(-, а область интегрирования определена неравенствами
?i>’ii‘. > ап2; o>i2.'п2>0; а = in (s/mji).
Аналогичным образом п-й член ряда может быть представлен в виде = где
*/(л) и = {ш)П J ^ dЪ- ¦ -findr\a, (137,17)-
с областью интегрирования
h> И; (1 = 1. 2, ..., п), а > \п, г\п > 0. (137,18)
Полная амплитуда рассеяния равна
Мп = М%
1 + 2^(0)
п= 1
(137,19)
Для вычисления этой суммы введем теперь вспомогательные функции А{п) (?, г|), которые даются теми же интегралами (137,17), но с областями интегрирования
h > Hi (i = 1. 2, |>Е„>0, r)>r)n>0 (137,20)
§ 137] ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ 675
(различные пределы интегрирования по |п и т]„ вместо одинаковых в (137,18)). Очевидно, что Mfi = А(о,. о), где
Л)= S ^(в)(5, Л). Л(0) = 1. (137,21)
п = О
]Дз определения функций А{п) (§, г|) видно, что они удовлетворяют рекуррентным соотношениям
4<n)(S, Ti) = -^-J^id%^(n’1)(ii, %),
