Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
фотографией неподвижного, но повернутого на некоторый угол куба. Найти
угол поворота изображения при разных значениях V и фиксированном а. При
каком значении V будет сфотографирована одна грань А'В'1 одна грань В'С'1
585. Ввести волновой 4-вектор, описывающий распространение плоской
монохроматической волны в движущейся со скоростью V в среде с показателем
преломления п (фазовая скорость волны в неподвижной сре-
§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры
167
де v' = ^). Найти формулы преобразования частоты, угла распространения и
фазовой скорости.
586. Плоская волна распространяется в движущейся со скоростью V среде в
направлении перемещения среды. Длина волны в вакууме Л. Найти скорость v
волны относительно лабораторной системы (опыт Физо). Показатель
преломления п определяется в системе S', связанной со средой, и зависит
от длины волны Л' в этой системе. Вычисления проводить с точностью до
первого порядка по V/c.
§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры
При переходе от одной инерциальной системы (S') к другой (S) компоненты
4-вектора преобразуются по формулам
A-i - OCik-Ajf, где матрица преобразования а имеет вид1
а
( 7 -h 0 0 ^
07 -7 0 0
0 0 -1 0
0 0 -у
(Х.16)
(Х.17)
Она соответствует преобразованию (Х.1), при котором одноименные
координатные оси систем S и S' параллельны, относительная скорость
направлена вдоль х и начала координат при t = t' = 0 совпадали.
Матрица преобразования удовлетворяет соотношениям
(XiiCKki = 9ik, auaik = 9ik, где gtk - метрический тензор, имеющий вид
9ik =
п 0 0 0 ^
0 -1 0 0
0 0 -1 0
V0 0 0 -у
(Х.18)
(Х.19)
Знаки на главной диагонали метрического тензора соответствуют знакам в
формуле (X.S), определяющей скалярное произведение двух 4-векторов.
1 Не забывать правило знаков при суммировании, сформулированное после
формулы (Х.5): при суммировании по дважды повторяющимся индексам
слагаемое с индексом 0 берется со знаком "+", а слагаемые с индексами 1,
2, 3 - со знаком "-".
168
Глава X
Преобразование, обратное (Х.16), записывается так:
К = akiAk.
(Х.20)
Координаты мировой точки хо = ct, х\ = х, Х2 = у, хз = z образуют 4-
вектор и преобразуются по формулам (Х.16), (Х.20).
При последовательном выполнении двух преобразований Лоренца
соответствующие матрицы перемножаются по обычному правилу умножения
матриц (см. гл. I, § 1).
Четырехмерным тензором (4-тензором) TV-го ранга называется совокупность
An величин Т{к... г, которые при переходе к другой инерциальной системе
отсчета преобразуются как произведения соответствующих компонент 4-
вектора Ait Ак, ..., Af.
Определитель |од|, составленный из элементов матрицы а преобразования
Лоренца, может быть равен -1 (собственное преобразование Лоренца,
например, (Х.1)) или +1 (несобственное преобразование). Любое собственное
преобразование Лоренца сводится к преобразованию вида (Х.1) и
пространственному повороту; такие преобразования могут рассматриваться
как повороты в четырехмерном пространстве. Несобственные преобразования
Лоренца включают в себя отражение одной или трех координат.
Псевдотензором N-то ранга называется совокупность 4N величин Р{к... i,
которые при четырехмерных преобразованиях координат преобразуются по
формулам
Примером псевдотензора является совершенно антисимметричный единичный
псевдотензор 4-го ранга (см. ниже задачу 592). Его компоненты ецыт
определяются следующими условиями: а) емт меняют знак при перестановке
любой пары значков; б) eom = 1- Отсюда следует, что компоненты e>kim
равны нулю, если среди значков есть совпадающие между собой, или равны
±1, если все значки различны.
587. Доказать равенства:
A-i = 9tkAk, A^Bi = AigikBk, QikQki = 9n ? 9u = 4"
где - метрический тензор (Х.19), Ai и Bi - четырехмерные векторы. При
суммировании по двум повторяющимся значкам используется правило знаков,
приведенное после формулы (Х.5).
Tik. . . I - OtipOtkr • • • OtlsTpy.
(Х.21)
Pik. . . I - OtipQkr • • • Otis l^mn l-fpr. . . "•
(X.22)
§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры
169
588. Показать, что тензор gik (Х.19) имеет одинаковый вид во всех
инерциальных системах координат.
589. Показать, что компоненты А\, А^, Аз четырехмерного вектора Ai =
(Ai, Аъ, А$, А4) при пространственных поворотах преобразуются как
компоненты трехмерного вектора А = (А\, А^, Аз), а компонента A.i
является трехмерным скаляром.
590. Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется 4-тензор II ранга
при пространственных поворотах.
591. Показать, что компоненты антисимметричного 4-тензора II ранга
преобразуются при пространственных поворотах как компоненты двух
независимых трехмерных векторов.
592. Доказать, что величина eikim, определенная во введении к данному
параграфу, действительно преобразуется как псевдотензор.
593. Доказать равенства: a) eiklmeimra = 2(giagkr - girgka);
б) eiklmeklmn = -6gin, где величины еМт и gik определены во введении к
этому параграфу.
594. Доказать равенство
eikimeimrs = AiBkCrDa = 2(AiCi)(BkCk) - 2 (AiCi)(BkDk).
