Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
595. Составить 4-вектор из частных производных dip/dxi (г = = 0,1,2,3),
где - скаляр. Найти выражение для компонент V" оператора четырехмерного
градиента.
596. Составить 4-вектор Tik из частных производных dAi/dxk (г, к = =
0,1,2,3), где Ai - 4-вектор. Показать, что 4-дивиргенция Vj-A* является
инвариантом, где Vi - оператор 4-градиента, введенный в предыдущей
задаче.
597. Найти закон преобразования величин:
а) А?; б) TikAk, если А{ - 4-вектор, Tik - 4-тензор.
598. Два 4-вектора Ai и Bi называются параллельными, если
Ар _ _ А? _ Аз
Во В\ В-2 Вз Доказать, что отношение одноименных компонент параллельных
4-векторов инвариантно относительно преобразования Лоренца.
599. Сколько существенно различных компонент имеет 4-тензор III ранга,
антисимметричный по отношению к перестановке любой пары значков?
Показать, что они преобразуются при поворотах как компоненты
четырехмерного псевдовектора.
170
ГлаваХ
600. Даны три системы отсчета: S, S', S". 5" движется относительно S' со
скоростью V', параллельной оси х', S' - относительно 5 со скоростью V,
параллельной оси х. Одноименные оси всех трех систем параллельны. Путем
перемножения соответствующих матриц получить матрицу преобразования от S"
к 5. Получить отсюда формулу сложения (см. (X.l 1)) одинаково
направленных скоростей.
601. Записать преобразование Лоренца (Х.1) в переменных х\, Х2, х3, х0 =
ct, выразив величину относительной скорости V через угол а по
формуле ^ = th а.
602. Получить матрицу преобразования д от системы S' к системе 5 путем
перемножения матриц простых преобразований. S' движется относительно 5 со
скоростью V = thaj в направлении, характеризуемом сферическими углами д,
/р. Соответствующие оси 5 и S' параллельны.
§ 3. Релятивистская электродинамика
Приведем основные формулы релятивистской электродинамики в вакууме.
Плотность трехмерного тока j = pv и плотность заряда р образуют 4-вектор
плотности тока:
U = М- (Х.23)
Электрическое и магнитное поля являются компонентами антисимметричного 4-
тензора электромагнитного поля Fik:
/ 0 -Ех -Еу -ЕЛ
Fik =
Ех
Е"
0
Я2
-я*
о
Ну
-нх
(Х.24)
\EZ -Ну Нх 0 /
При переходе от системы S' к системе 5 компоненты поля преобразуются по
формулам (оси х и х' параллельны относительной скорости):
Ех = Е'х, Нх = Я', Величины
Еу = 7(я; + 0Н'Я), Ez = 7(S' - /ЗНу);
Ну = 7(Я? - 0К), Hz = 7(Я' + /ЗЕ'у).
(Х.25)
И1-W
inv,
Е Н
inv
(Х.26)
являются инвариантами преобразования Лоренца. Векторный А и скалярный Iр
потенциалы образуют 4-вектор потенциала
Ai = (<р, А).
(Х.27)
§3. Релятивистская электродинамика 171
Компоненты тензора энергии-импульса в вакууме определяются формулой
Tik = (y-FuFki + -^gikFlm^J. (Х.28)
Девять пространственных компонент тензора 7** образуют трехмерный тензор
натяжений Максвелла
Т"0 = ^(-ЕаЕ0 - НаН0) + ^(Е2 + Н2)6а0. (Х.29)
Пространственно-временные компоненты 7** пропорциональны составляющим
плотности потока энергии S и плотности импульса поля g:
Тоа = clai S = Т-Е X Н,
(Х.30)
Тоа = cga, g = х Н = -jS.
Временная компонента 7** связана с плотностью энергии поля из
соотношением
То° = из = ^~(е2 + И2)- (Х.31)
Дивергенция тензора Т** определяет объемную плотность сил fi =
приложенных к зарядам:
Перейдем теперь к формулам электродинамики при наличии сред. В этом
случае векторы поля Е, D, В, Н образуют два антисимметричных
четырехмерных тензора II ранга: тензор поля
Fik =
(° -Ех Еу ~ЕЯ
Ех 0 -Вя By
Еу вг 0 -вх
-By Вх 0
(Х.ЗЗ)
и тензор индукции
(0 ~DX Dy -Dz
Dx 0 -hz Hy
Dy Hz 0 -Hx
{Dz -Hy Hx 0
(Х.34)
172
ГлаваХ
Векторы поляризации и намагничения Р и М также образуют 4-тензор
( 0 Рх Ру Рг \
-Рх 0 -Mz Му
-Ру Mz 0 -мх
К-Pz -Му мх 0 )
Формулы D = Е + 4-7гР и В = Н + 4л"М объединяются в одно соотношение
Hik = Fik - AnMik. (Х.36)
Четырехмерная /*, приложенная к единице объема среды со стороны
поля, определяется как
fi= (±[Q + f-v],f), (Х.37)
где f - пондеромоторная сила, приложенная к единице объема, Q - джоу-
лево тепло, выделяемое в единицу времени в единице объема.
603. Записать формулы преобразования для векторов поля Е, В; D, Н и
поляризаций Р, М при переходе к системе S', движущейся относительно
системы S с произвольно направленной скоростью V. Представить формулы
преобразования в векторном виде.
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться выражением коэффициентов преобразования,
приведенным в задаче 602, и антисимметрией тензоров Fik, Hik,
604. В системе отсчета S имеется однородное электромагнитное поле Е, Н.
С какой скоростью относительно S должна двигаться система S', в которой
Е' || Н'? Всегда ли задача имеет решение и единственно ли оно? Чему равны
абсолютные значения Е' и Н'?
605. В системе отсчета S электрическое и магнитное поля взаимно
перпендикулярны: Е ± Н. С какой скоростью относительно S должна двигаться
система S', в которой имеется только электрическое или только магнитное
поле? Всегда ли существует решение и единственно ли оно?
606. Бесконечно длинный круговой цилиндр равномерно заряжен с линейной
