Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
отсчета, движущейся вместе с электронами пучка; в этой системе на
электроны действует только электрическая сила.
692. Выберем ось х || еЕ. Дифференциальные уравнения движения в
четырехмерной форме имеют в данном случае вид:
сРх |е| Edjct) <^2/=0 ^г=0 Iе!Е dx
dr2 тс dr ' dr2 ' dr2 ' dr2 me dr' Интегрируя эту систему с начальными
условиями:
~ - - V - м - dx _ Ро* dy _ Роу
х - у - z - ct - 0} , - ) . - )
ат т ат т
4^ = 0, с^- = - при т = 0, где §0 = Jc2pl + т2^,
ат от тс V и
найдем уравнения траектории частицы в четырехмерном пространстве:
522 Глава XI
Из последнего уравнения находим
р0х + \e\Et + yj (pox + |е| Et)2 + rrPc2 + р§у
т=^1п
е\Е -L g°
РОх + -
Используя это выражение и исключая sh и ch из первого и последнего
уравнений, получим закон движения в трехмерной форме.
x(t) = ГТ? [У(рох + \e\Et)2 + m2c2 + pgy - ^ ;
Рох + И Et + yj (рох + \e\Et)2 + т2с2 + р%у ЕШ '
z(t) = 0.
y{t) = ^lln
еЕ г*
РОх + ~
При ро <С тс и ( ^ движение нерелятивистское. Выражения
\e\ti
для х, у, z переходят при этом в обычные нерелятивистские формулы
равноускоренного движения:
"") =
По истечении достаточно большого времени с момента начала движения (t "
скорость частицы становится близкой к с (даже если она
была мала в начале). При этом
X(t) = ct-
\е\Л/
^,n2NK
\е\Е тс
и движение становится равномерным. Ход x(t) и y(t) представлен на рис. 11
За и 1136 соответственно. Движение, которое получается при роу = 0 (см.
рис. 11 За), принято называть гиперболическим.
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном пале
523
693. Траектория частицы определяется уравнением:
х =
<§о
Ш'
+
. срох , \е\Е + -^ sh -^zry.
\е\Е °Роу'
В нерелятивистском пределе <§Ь = тс2, ро<^тс и
Последнее следует из того, что \е\Ет - приобретенный частицей импульс -
должен быть в нерелятивистском случае мал по сравнению с тс. Таким
образом,
т\е\Еу2 рох
х = -5~ + Р^у-
694. I
Шу
8 - пи? ~ еЕ '
695. Направим ось z || Н. Будем исходить из дифференциальных уравнений
движения в четырехмерной форме1:
(Рх dy <Ру dx (Pz п <Pt п
i? m7r' ^ d? = 0' 7? = °'
еН
тпс"
где oji
Первые два уравнения удобно записать в виде = х + iy. Из последнего
уравнения получим
ct
= Шт' = с\/ро + m2c2' S = mc*jt = §0'
u dp ev х Н
'Можно исходить также из трехмерного уравнения - = ------------------,
сделав в нем заме-
ну р = -и воспользовавшись тем, что 8 = const (магнитное поле не
совершает работы с
над частицей).
524
Глава XI
О < VOx< и
сЕв
Н
г)
2сЕ"
Рис. 114
Энергия частицы не зависит от времени, так как силы магнитного поля не
совершают работы. Интегрируя уравнения для и и z, отделив действительную
и мнимую части и и выразив собственное время г через t, найдем:
СРОу
х = Ri cos(u>21 + а) + -ц- + жо, у = -Ri sin(u>2? + а) - + \
еН
v0zt.
(1)
Из уравнений (1) видно, что частица движется в магнитном поле по винтовой
линии, навитой на силовые линии магнитного поля. Радиус этой винтовой
линии равен R = |J2i I, где Д1 =
еп
Po_l = yjplx + Рау Частота обращения
равна и> = |и>г|, где и>2 = Щт (знак заряда может быть отрицательным).
Шаг винтовой линии равен
27г|г"ог | 2kS\vqz\
где v0z
и
РОгС
\e\Hc '
Очевидно, что R = где uoj_ =
" "2
Ро±с
= ---------составляющая скорости ча-
стицы, перпендикулярная к полю. При малой скорости частицы ? = тс2 и
R =
mcv ох
И я
из
sin а
РОх
'Pox'
|е|Я ' "
Угол а определяется уравнениями:
Роу ~Ро±'
cos а =
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
525
696.
х = asinwt +
сЕу
Н
t,
(1)
ЗДх -
сЕу
~Н~
где а = -
Вдоль оси z происходит равноускоренное движение под действием .z-
составляющей электрического поля. Движение в плоскости ху представляет
собою обращение заряда в однородном магнитном поле по окружности, радиус
которой а, а центр равномерно движется ("дрейфует") в направлении,
перпендикулярном плоскости (Е,Н).
Скорость дрейфа
идр -
°Еу Н '
Возможные проекции траектории частицы на плоскость приведены на рис. 114.
Траектории а), в), д), ж) являются трохоидами общего вида, б),
Е
е) - циклоидами. Движение будет нерелятивистским, если vo < с, < 1
н
и время t не слишком велико:
t <
тс _ Н eEz шЕ,
697. х = sin хНт + (cos хНт - 1), еН еН
у = (cos хНт - 1) + sin хНт, еН еН
z = -%:(ch хЕт - 1) + ^77^ sh хЕт, еН еН
РОуС
ct = 5^(ch хЕт - 1) + sh хЕт, еНv ' еЕ
So
где х =
тс'
698. а) Пусть электрическое поле Е || у, магнитное поле Н || z (в
системе S). В начальный момент t = 0 частица находится в точке х = у = =
z = 0 и обладает импульсом ро. Движение имеет различный характер в
случаях Е > Н и Н > Е. В первом случае существует, как это следует из
вида инвариантов поля Е • Н = О, Е2 - Н2 > 0, такая система
526
Глава XI
отсчета S', в которой отсутствует магнитное поле. Из преобразований
Лоренца для поля видно, что система S' должна двигаться относительно S
нас уравнения движения частицы в S получаются из уравнений движения
частицы в однородном электрическом поле Б' с помощью преобразований
При Н > Е преобразование от системы отсчета, в которой имеется только
