Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
I 7Г т-"
исследуются также случаи а=^-,^±^,^+7г. Во всех этих случаях поляризация,
вообще говоря, эллиптическая. При а = ^ + 7г в
направлениях,
определяемых условием
поляризация получается круговой.
А
а=|=22,5°
\)
б)
Рис. 121
При а = ^ ± ^ направления с круговой поляризации определяются уравнением
ctg ^ = | cos 1.
737. 7 = + cos2 i9)er + ^44 sin N = §^4^e2.
8nc г 4ttcV 3 c3
Последний результат можно получить либо учитывая, что теряемый излучающей
системой в единицу времени момент импульса =----------------р х р
at Зс
(см. задачу 730) равен вращательному моменту N, приложенному к экрану,
либо непосредственно по формуле N
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям 545
738. Н = тш2*т<*> (е" cos •& + iea)ei(-kr~"t+a'>, err
Е = mu; S'n<^(-ea cosi9 + ге$)ег(кг~ш1+а\ с r
где tn = 4^a3M,
^=mVsm^ og2 dQ 8тг с3 v
У 2 m2a>4 sin 2<p
= 3? '
J _ 3 u)6q2R%a2
500 ' cs '
740. E=^, H = 0.
r3
741. Разлагая вектор Герца Z(r, t) на монохроматические компоненты и
используя разложение (П3.20), получим:
Zp(r,t) = ?P-, (1)
где t' = t-r~,
zq(M) = ^Q(0 + ^Q(0, (2)
x n. (3)
Эти формулы справедливы при г з> а, где а - размер системы. Произвольная
постоянная, возникающая при вычислении интеграла, входящего в (3), не
сказывается на величине напряженностей поля.
742. Поле магнитного диполя:
Em(r,f) = -iAm = + ^1,
с с*г с*г
" . . . Зп(ш • п) - ш Зп(ш • n) - th nx(nxm)
Hm(r ,t) = rot Am =--------5------H---------5------H--------ъ------•
r cr err
Поле электрического диполя получится из поля магнитного диполя путем
замены tn -" р, Нт -" Ее, Ет -" -Ее.
546 Глава XII
4
743. ^ = ш°, {р2(1 - sin2 тд cos2 а) + m2 sin2 тд + mpsin i? sin а}; а\
I 47гс
I = ^j(p2 + m2). Здесь использована система координат, ось х которой
3 с
направлена вдоль р, а ось z - вдоль ш. Дипольные моменты в обоих случаях
имеют значения
Р = Ро COSCJot,
ш = Шо sinwof,
где ро = qod, Шо = 7гД2<7сМ)/с, qo - максимальный заряд одной из обкладок
конденсатора, определяемый условием возбуждения системы, d - ширина
зазора, R - радиус проволочного кольца в случае а) или цилиндрической
оболочки в случае б).
Усреднив интенсивности излучения по периоду колебания, получим
= - sin2 -i9c°s2 о;) + mg sin219}, 7 = ^|(pg + mg).
744. Дипольные моменты системы равны нулю, электрический квад-рупольный
момент имеет одну отличную от нуля компоненту Qzz (если направить ось z
вдоль ро).
Вследствие этого вектор Q будет параллелен оси 2 и равен Q(?') = = Qo cos
$ costot'ez при соответствующем выборе начала отсчета времени, здесь Qo =
2роа.
Удобно проводить вычисления в комплексной форме, воспользовавшись
выражением (2) из решения задачи 741 и спроектировав Z на оси сферической
системы координат. Отделив вещественную часть, получим в результате:
И. = во^ [(? _ М) sinM -kr)-^ COSM - и],
Ег = ^0^3с°2 ^-- [(Д- - ^2 ) cos(a;f - кг) - sin(a;f - кг)], щ = QosmM
^ cQs(u}t _ kr) + ^ sinM _ *r)],
f^sinWtf, 7=^, dfl 327ГС5 60c5
где Qo = 2poa.
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям
547
745. Выберем координатную систему, как показано на рис. 122.
Распределение тока в антенне выражается формулой
J = sin [ & к
где
Ш _ Ш7Г С I '
Электрический дипольный момент единицы длины антенны Р = согласно
(XII.9). Элемент d? антенны можно рассматривать как электрический
дипольный осциллятор с моментом dp = Pd?. Поскольку выполняется
неравенство <С А, то создаваемое элементом d? в точке А магнитное поле
можно вычислить по формулам (XII. 17) и (XII.20):
<Шо(го,0
ш
(?Г
где
-easini?P^- d?, г = го - ? cos д.
Так как мы интересуемся только полем в волновой зоне, то величину которая
мало меняется в области г > i, можно вынести из-под знака интеграла.
Таким образом
Hr = Hje = О,
2
На = _iu^mAjoei(kr0-ut) f e^<=o8tfsinm7IYi + iW С Го J \1 2/
2
Выполнив интегрирование, найдем угловое распределение по форму-
ле
dft 4л-
г2-'п-
а' О
41
dQ
3.
2 7ГС
я.
2 7ГС
cos
2(zmL cos^)
sin2 i?
sin2 cos i?) sin2 i?
при m нечетном,
при m четном.
548
Глава XII
Характер углового распределения виден из полярных диаграмм, приведенных
на рис. 123. Штриховой линией показано распределение тока по длине
антенны, сплошной - угловое распределение излучения.
т = 4
746.
_ а2
I = -2^-[1п(27гт) + С - С*(27гт)],
R = 2-^- = -[1п(27гт) + С - Сг(2тгт)}.
•9о с
747.
- J2 sin2 д sin2 Щ (1 - cos tf)j d?l~ 2жс (1-costf)2 '
с А \ А / Am/X J
где X = - длина излучаемой волны, д полярный угол, отсчитываемый
к
от координатной оси ?.
Легко убедиться, что бегущая волна излучает интенсивнее, чем стоячая
волна с теми же значениями /, A, Jq.
748. Если расстояние г точки наблюдения Л(го,$, а) (рис. 124) от петли
велико (г а), то можно считать, что радиусы-векторы г от всех эле-
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям
549
ментов кольца "Л параллельны, причем г = го -a cos ip = tq-a sin •&
cos(a' -
- а) (см. задачу 1). Элемент <fl обладает электрическим дипольным
моментом dp = Pdl = dl, где через P обозначен электрический дипольный
