Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
уравнение траектории частицы:
d2 I /1 1 _
+(!-<'((r))
где
Р=^. и К с
Интегрирование этого уравнения дает при рф 1:
_ Р______ _ К2с2 - Z2e4
Г l + ?cos у/Т=?а Р Ze2§ ' ()
где е - постоянная интегрирования. Вторую постоянную интегрирования можно
исключить соответствующим выбором начала отсчета угла а, а величину ?
выразить через § и К. Траектории симметричны относительно оси х (а = 0).
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 531
Рассмотрим подробнее случай р < 1. Как видно из (6), в этом случае
частица не приближается к центру ближе, чем на расстояние rmjn = ^ ^ ?"
если принять что е > 0. В формуле (6) начало отсчета угла а выбрано так,
что г = rmjn при а = 0. Частица может многократно проходить на
Рис. 115
расстоянии rmjn от центра. Во всех таких точках г = 0 и скорость
направлена
перпендикулярно к радиусу-вектору г. Поэтому К = mvrmm-. Исключая
у/1 - v2/c?
2 у 7.
отсюда и из уравнения (3) 8 = величину v и используя
выражение rmjn через е, найдем:
(7)
Из (7) видно (р < 1), что при S < тс2 параметр е < 1. Движение при этом
финитно и траектория "эллипсовидна" (рис. 115). Она име-
532
Глава XI
ет вид незамкнутой, вообще говоря, розетки, заключенной между окруж-
. Ее можно получить путем вращения
(прецессии) нерелятивистской эллиптической траектории в своей плоскости.
Полное колебание величины г от минимального значения rmj"
1 + s
(перигелий) до максимального значения Гщах = ^ _ (апогей) и обратно до
нового минимума происходит при возрастании а
на 27Г Перигелий орбиты, таким обра-
VI - rho2
зом, за один период изменения г поворачивается на угол 2тг^-^===-- j.
Если у/l - р2 представляет собой рациональное число, то после некоторого
числа оборотов траектория замыкается на себя.
При 8 > тс2 параметр е > 1. Движение инфинитно и траектория
"гиперболовидна" (рис. 116). Она имеет две ветви, уходящие на
бесконечность при а = ±с*о, где ао =
arccos ( -
=------. -. Частица, приближающаяся к за-
ряду Ze по одной из этих ветвей, может совершить вокруг заряда несколько
оборотов, раньше чем уйти от него на бесконечность по другой ветви.
Случаю 8 = тс2 отвечает е = 1. Движение в этом случае также инфинитно, а
траектория "параболовидна".
При р <С 1 рассмотренные траектории переходят в обычные эллипс (е < 1),
гиперболу (е > 1) и параболу (е = 1) нерелятивистской кеплеровой задачи.
Это естественно, так как при ^ <С 1 выполняется условие р <С I.1
Рис. 116
1 Можно произвести такую оценку величины р в нерелятивистском случае:
Ze2
Ze2
Кс
Ж
тис
По теореме вириала |Е/| = 2Т as mv2, так что р ~ ^ 1
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
533
709. Решение уравнения (5) предыдущей задачи в случае р > 1 удобнее
записать в следующем виде:
Pi
г =
- 1 + ?\ ch \//э2 - la
(1)
где
Pi =
¦ K2i:2 + Z2e4 Ze28 '
_ 1 , m2c4
ei~V7 + ~^-
(2)
Траектории, описываемые уравнением (1), имеют вид спиралей,
закручивающихся вокруг начала координат при а -* ±оо. Частица падает на
силовой центр (в нерелятивистском случае падение на центр возможно только
при К = 0, р = оо). При § > тс2 па-
Рис. 117
раметр ?\ < 1 и траектория имеет две ветви, уходящие на бесконечность при
a:=±a!o, где "о = , \ arcch ^ (рис. 117). При § <тё2, пара-
vV2-1
метр ?i > 1, и траектория имеет вид, изображенный на рис. 118.
В случае р = 1 решение вида (1) неприменимо и дифференциальное уравнение
траектории должно быть проинтегрировано заново. Результат интегрирования:
2 Ze28
(3)
82(а2 - 1) + т2с4
Рис. 118
Траектория также представляет собой спираль, закручивающуюся вокруг
центра при а -> ±оо, но медленнее, чем в случае р > 1. Общий характер
траектории такой же, как в случаях, изображенных на рис. 117, 118.
534
Глава XI
где
Рис. 119
Р= -
? =
Z2e4 - К2<?
Ze28 '
s/K2S2 - т2с2(К2(? - Z2e4) > 1.
Ze28
Траектория имеет гиперболоподобный характер (рис. 119). Две ее ветви
уходят на бесконечность при а = ±ао, где
а0 =
: arccos
ZV K2t2
При < 1 частица движется по гиперболе. Этот случай отвечает
нерелятивистскому движению, v < с (см. примечание на стр. 530.
В случае -^ > 1.
г = -
- ech otyj
2 "4
Z* е К2с2
-1
где е < 1. Характер траектории такой же, как в первом случае. Две ее
ветви уходят на бесконечность при
а = ±-
2 "4
к2 г
rajch
-1
г =
2 Ze28
82( 1 - а2) - т2с4 Ветви траектории уходят на бесконечность при
у/82 - m2ct
а =
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
535
712. В случае ее' < 0 (притяжение):
ale2 - 1|
где
ее
28
1 + е cos a '
(1 +
28К2 /ie2e/2 '
Ш1Ш2 mi + 7712 '
К = рг2 а - момент импульса, 8 = Щ----полная энергия части-
цы, г, a - полярные координаты. Траектория частицы представляет собой
коническое сечение: при 8 < 0 - эллипс (е < 1), при 8 > 0 - гипербола, во
внутреннем фокусе которой находится заряд е' (е > 1), при 8 = 0 -
парабола (е = 1).
В случае ее' > 0 (отталкивание):
г =
а(е2~1)
- 1 + е cos a '
В этом случае 8 > 0 эксцентриситет е > 1, и траектория представляет собой
