Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
замкнутой гиперповерхности S, образуемой дополнением этих гиперплоскостей
бесконечно удаленной боковой гиперповерхностью. Полученный интеграл
преобразуется по теореме Остроградского-Гаусса
(П - объем внутри замкнутой гиперповерхности S). Преобразуем правую часть
последнего выражения:
в правой части последнего выражения стоят координаты частиц и их функ-
Здесь Tik = Tki вследствие симметрии 4-тензора натяжений.
о<т" "
Рассмотрим / xi~Q^r dSl = - 3 / xiFkiji dfl. Так как мы имеем дело с
системой точечных частиц, то
ции в момент t. Согласно уравнениям движения частиц, %Fki^r = -т^.
с at at
суммой по частицам.
1 Кцс - функционал от пространственноподобной гиперповерхности t = const.
§ 3. Релятивистская электродинамика
495
Поэтому
= 0, Kik = const.
at
620. Полный момент импульса частиц и поля в объеме
Kaffit) = ^2 ka0 - | J{хаТ0у - XpTay) dSy, t
где ka0 = XaPp-xpPa - момент импульса одной из частиц, интеграл берется
по той части гиперплоскости t = const, проекция которой на трехмерное
пространство равна V. Аналогичным образом записывается Kaff(t + dt).
Рассмотрим момент импульса, теряемый системой за промежуток времени dt:
- dKap = Ka0(t) - Ka0(t + dt) =
= -^2dk<*0 + i J
t+dt t
Разность интегралов по близким гиперплоскостям можно представить в другом
виде, заметив, что f + f + f = j> по замкнутой цилиндриче-
t t+dt <5>бож
ской гиперповерхности (см. рис. 104)1, образующие которой параллельны оси
времени. Так же, как это было сделано в предыдущей задаче, можно
убедиться, что / сокращается с Zdka0• Тогда
-dKafj = | / {хаТр7 - хрТау) dSy
Soo,
Элементы гиперповерхности 5бок> очевидно, нормальны к оси t и могут быть
представлены в форме dSy = ic dt n7 df, где df - элемент обычной
поверхности, замыкающей объем V, п - орт нормали к этому элементу. Отсюда
получаем выражение для убыли момента импульса системы в единицу времени:
----= J (-Хс,Т01 + Ж/зТа7)п7 df. (1)
1 Не следует забывать об условности таких рисунков.
496
ГлаваХ
Введем антисимметричный по значкам а, /3 тензор ^Яа01 = х0Тау -
- хаТр~,. Этот тензор должен быть интерпретирован как плотность
потока момента импульса, что ясно из формулы (1). Компонента равна
количеству с*/3-компоненты полного момента импульса Кар, протекающему в
единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к оси х7.
Подобно тому, как вместо Кар можно ввести псевдовекгор момента К, можно
ввести также псевдовекгор, эквивалентный 9ta07n7. Тогда равенство (1)
принимает вид:
* = Д28+7ГЯ2(Г Х П) " ^[(Г Х Е)(" ' Е) + (Г Х Н)(" ' Н)]- (3)
При выводе (3) использовано выражение (Х.29) для компонент Тар.
Глава XI
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 1. Энергия и импульс
621. р=1у/Т(Т + 2тс2).
622. v =
ср
л/p2 +т?с2
623. Э=| = ^-(&)а.".=
тс2.
В нерелятивистском случае /3 и \1^~, в ультрарелятивистском /3 = 1-
2
-К*)-
imu2 + 3m^ 8 c2
2 " 4
P 1 P
2m 8 m3c2
625. v =
2eV 1 + 2mc2 ' mr /
В частности, при eV <С me2,
при eV " me2,
498 Глава XI
626. а) и = 3,42-КГ2 с; б) v = 0,9999985с; в) 0,81 с; г) 0,9956с.
627. F = у/Т{Т + 2mc2), W = §Т.
628. р- 2mv2N
1 - v2/c2
Давление имеет одинаковое значение в системе, связанной с телом, и в
системе, связанной с газом. В этом можно убедиться как путем прямого
вычисления давления в каждой из этих систем отсчета, так и произведя
преобразование Лоренца для четырехмерной силы (см. (XI. 18)).
629. Длина п-й трубки
Г _Vn_c п ( тс2
2v 2u]jL vnVee + me2' '
где vn - скорость частицы в п-й трубке. В начале ускорения me2 neVe
и1пй^-^В ультрарелятивистском пределе Тп " тс22, "йс
Оценим длину ускорителя:
N
ь = уьп~?- [=
2" У V VnV^e + mc ^
п 0 "
= . стг \/(NeVe + тс2)2 - m2c4 - me2 arccos ¦ "
2i/eVe[ iV'eV'e + тс
630. Отношение интенсивностей
тс2
h___h
h
- = ехР VT ехР
= т° - период полураспада /i-мезона, движущегося со скоростью .
Если бы релятивистское преобразование времени не имело места,
мы получили бы для отношения интенсивностей (считая, что скорость мезонов
равна с):
§ 1. Энергия и импульс
499
Наблюдения согласуются с первым результатом (1н/1о ~ 2,5) и тем самым
дают прямое экспериментальное доказательство существования
релятивистского эффекта замедления хода движущихся часов.
p,jf - импульсы частицы в системах S и S' соответственно.
Приведенной в условии для ультрарелятив истского случая приближен-
632. Рассмотрим dN частиц, движущихся в системе S' внутри телесного угла
dSY. В системе S те же dN частиц будут двигаться внутри телесного угла
dSl = sin д dd da, образованного векторами скоростей этих частиц в
системе S. Угловое распределение частиц в системе S будет описываться
функцией а), определяемой из равенства
р'sin_ i sini?'
где
7 =----------------------, 8 = 7($' + p'V cos i?/),
ной формулой можно пользоваться, если
принимает вид:
йярся 2/у§'cos2
F(d,a)dSl = F'(d',a')dn' = dW =
(1)
Угол д' должен быть выражен через д с помощью формулы:
500
Глава XI
72[(costf' + ^) + ^
3
F(4,a) = F'[4'(4),a}-------------------------------
