Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
задачей 516). Она применима, если п(со)0 cos д < 1 и отличается от
соответствующей формулы, описывающей эффект Допплера в вакууме, только
наличием п(и>) в знаменателе. При /3 <С 1 никаких качественно новых
явлений не возникает, но при /3 " 1 и при наличии дисперсии в среде
явление усложняется.
В общем случае формула (2) представляет собой нелинейное уравнение
относительно и> (п - функция и>!) и может иметь более чем одно решение.
При этом вместо одной смещенной линии, как в обычном эффекте Допплера, в
лабораторной системе будет наблюдаться несколько линий (сложный эффект
Допплера).
518
Глава XI
678. Поступая так же, как при решении задачи 677, получим следующие
результаты.
Излучение частоты ш, сопровождаемое возбуждением частицы, может
возникнуть, если скорость v = /Зс движения частицы превосходит пороговое
значение , чс-- (?9 - угол между направлением скорости частицы
п(ш)COS V
и направлением импульса фотона). Необходимая для этого энергия
заимствуется из кинетической энергии частицы. Излучение такого типа
наблюдается при фиксированном значении ш только в некотором интервале
острых углов внутри черепковского конуса, поверхность которого
определяется уравнением n/3 cos д = 1. Наблюдаемая частота ш связана с
углом и величинами /3,п(ш) формулой
ш = ~ q 7 [пМ0 cos > 1],
n(u))pcosv - 1
представляющей собой, как и в случае задачи 582, уравнение относительно
ш. Это уравнение допускает, в общем случае, несколько решений (сложный
сверхсветовой эффект Допплера).
679. Обозначим через угол между начальным импульсом электрона ро и
направлением распространения мягкого кванта, а через - угол между ро и
направлением распространения жесткого кванта. Из закона сохранения 4-
импульса (ср. задачу 675) в предположении Ьиз\ <С <§Ь> ^о ^ <§о следует
0 с . Ьи2 l-^costfi
COS V2 = ---; г + т • -------------------------------. (1)
w0n(wi) 1 ^п(ш i)
Отсюда видно, что жесткий черенковский квант hu2 распространяется внутри
черенковского конуса, отвечающего мягкому черенковскому кванту с частотой
и)\. Угол раствора этого конуса при принятой точности определяется
условием cos?9i = c/vqti(ijJ\). Для возникновения жесткого излучения
Вавилова-Черенкова необходимо выполнение неравенства vo > с/п(ш 1), как и
в случае обычного черенковского излучения. Это возможно только при п(ы\ )
> 1. Следовательно, один из квантов должен быть достаточно мягким. Решая
(1) относительно получим
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 519
680. ь,------------,- - ч-------
(тс/ So) + 2(ftu>i/?o)[rc(u>i)cosi?i - 1]
Максимальное значение достигается при д\ = д? = 0. Частные случаи:
при (§о "С (тс2)2/Ьш 1
(Р \ 2
9 ) [^(^l) ^])
7ГМГ /
при Sq (mc2)2/hwi
.2
<7ПС*
^\2 i
' иш\
(fiii}2)nua (r) "О-
Из последнего выражения видно, что жесткий черенковский квант может
уносить большую часть первоначальной энергии ультрарелятивистского
электрона.
681. Угол рассеяния принимает дискретные значения, определяемые
уравнением
1? _ 7ГЙ
2 - ОР'
* /"2 _2 _2
где й = д / + -j + -f, щ - целые числа,
у Oj 02 Оз
683. При hcv <€.§о
(qc)2/2S0
kw ¦
(me2/Sq)2 + i92 - 2(qc/S0)
Энергия hu) тормозного кванта принимает дискретные значения при
фиксированных значениях угла так как передаваемый импульс q = 2nh,g
дискретен.
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
"гол _____тп_____dv j_______mvv_______dv _ p.
* (1 - V2/cУ'2 dt c2(1 _ ^/c2)3/2 dt '
520 Глава XI
в) = F.
ctt
Величины-----------(tm) и---------------^ иногда называют продольной
(l-v2/c2)3'2 (l-v2/c2)V2
и поперечной массами соответственно
685
где 7 =
686. F = 72^.
н
2Wi - ^2)
688. V'(a) =----. - In г, где в = У;,г - расстояние
V ' V(l-^)cos2a + sin2a . м с, f
от точки наблюдения до провода.
689. F=^.
Решить задачу можно разными способами:
а) непосредственно вычислить электромагнитную силу, действующую на
движущийся точечный заряд со стороны линейного заряда и тока (учесть
лоренцово сокращение!);
б) определить силу в той системе отсчета, в которой магнитное поле
отсутствует и воспользоваться формулами преобразования 4-силы;
в) воспользоваться конвекционным потенциалом ф, полученным в задаче
668,
F = -е grad-)/).
( 2 \ 2
1 --J -^п, где г - расстояние электрона от оси пучка,
Г
$т = 2?п; j p(r)r dr - ток через круг радиуса г,
\Л - 02 о
v={1 + ^ ) i1 + - скорость электронов (см.
задачу 591).
На поверхностный электрон действует сила
(и2\
1 - ^2 JUa' гае а - Радиус пучка.
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 521
691. Ускорение наружного электрона нормально к оси пучка и к скорости
электрона, поэтому в лабораторной системе отсчета имеем (см. ответы к
задачам 684 и 690):
('-Я1 - •
vn =--------------=?----------F =
ЧеУ Л _ г>^\ 2 т ' mav ^ с2) '
Уширение пучка
Л _ vnt2 vnL2 Да = ~ = 1^-
Согласно условию Да <С L, откуда <С v или vnt <" <с. Таким образом,
применение нерелятивистской формулы для вычисления Да оправдано.
То же значение Да можно получить, рассматривая уширение пучка в системе
