Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
б) Условие совместности системы имеет вид Е-Н = 0. Оно релятивистски
инвариантно и показывает, что релятивистски инвариантные магнитные
силовые линии можно ввести только для взаимно перпендикулярных
электрического и магнитного полей.
в) Условие интегрируемости системы имеет вид
У = с*ЦЖ Н'=Цу/Й*=&. н2 нv
H,rotE+i^l - Е div Н = 0 . с от .
или в ковариантной записи, Fikekimn Qmn = 0, и всегда удовлетворяется
OXi
в силу уравнений Максвелла.
§3. Релятивистская электродинамика 491
г) Записав уравнения (2) в виде (Б ± Н):
Н(Н_*) ДХН н2 н2
убеждаемся в справедливости сделанного в условии задачи утверждения г).
608. В трехмерной записи система, приведенная в условии задачи,
принимает вид
dr х Е - сН dt = 0, Н • dr = 0,
откуда следует, что в любой фиксированный момент времени (dt = 0)
выполняется условие параллельности dr х Е = 0 приращения dr и
электрического вектора Е. Уравнения совместны при Е • Н = 0 и
интегрируемы при
- Н div Е = 0.
E,rotH +
. с at.
Последнее уравнение накладывает на распределение зарядов и токов условие
вида
Е х j + сНр = 0.
Если перечисленные условия не выполняются, то инвариантных силовых линий
электрического поля ввести не удается. Силовые линии движутся
Б х Н
поперек своего направления со скоростью и = -с---.
Б
610. ">=?, А = е^,
eR еЩ1-У2/(?) у..р
е-^г^5--:--------------------------------:-н-тхЕ'
уЧс*
где R* = \/{х - vt)2 + (1 - /32)(у2 + z2), (vt,0,0) - координаты
движущегося заряда в момент t, R(x - vt,y,z) - радиус-вектор от заряда в
точку наблюдения в момент t,d - угол между R и v.
611. Из формул предыдущей задачи следует, что вдоль линии движения
заряда (д = 0,7г) поле Е ослаблено по сравнению с кулоновым Е^п = = e/R2
в 1 - V2/c2 раз, а в перпендикулярном направлении ($ = п/2)
поле Е усилено в * - раз. При V ~ с поле велико только в
узком
у/1 - V2/c2
интервале углов Ад ~ у/1 - V2/c2 вблизи экваториальной плоскости.
492
ГлаваХ
Условие Е\\ = Еу относится к одним и тем же точкам 4-пространства. Но
если в системе покоя заряда какая-то точка А находится на оси х на
расстоянии R от заряда, то в лабораторной системе та же точка будет
находиться от него на расстоянии Ry/1 - /З2. Сравнивая значения Е\\ в
точке
RjTTp и Е' в точке R, получим
Е" =
еДу/Г^(1 - /З2) е ^
(Дх/Г^З2)3 Д2 11 '
как и должно быть.
612. <р =
Ро г 7 г*3
A=v^ Е=3_Н(рот*)-рог*
7 г
где R = (х - vt, у, z), г* = (х - vt, ^у, ^z^, диполь движется по оси х,
находясь в момент времени t в точке с радиусом-вектором Vi.
613.
р' + |хш-(7- 1)У
W
7V2 '
ш = m
^xp'-h-DV^,
где р и m - дипольные моменты в системе покоя.
614. Используя формулы преобразования четырехмерной плотности тока,
найдем, что стороны 2 и 4 прямоугольника (рис. 102) не заряжены,
а стороны 1 и 3 несут заряды q\ =
V Ф'а.
= -<7з = -¦?¦• где у - ток в системе S', связанной с петлей. Отсюда (или
из результата задачи 613) следует, . v что электрический дипольный момент
петли, наблюдаемый в S', равен р
О
L
Рис. 102
9зЬ = тгт', где ш'
У'аЬ
с........ с -ма1-
нитный момент петли, наблюдаемый в системе S'.
§ 3. Релятивистская электродинамика 493
615. Пусть щ - четырехмерная скорость среды. Составим 4-инвариант (см.
формулу (Х.37)):
fiUi = 7(f • V) - 7 {Q + f • V) = -7 Q = inv.
Если обозначить через Qo количество тепла, выделяемого в единице объема
среды в единицу времени в той системе, где среда покоится, то Q =
= Qoy/l^W.
616. w = 72 (и/ + Щ-S', + (32Т'ХХ), Sx = 72 [(1 + 02)S'X + VJ + VTXX],
Sy = 7(5; + VT'y), Sz = j(S'z + VT'Z), Txx = 72(t'x + 24s'x + /JV),
гтл __ rpf rp _ rpf rp ___ rpf
УУ yy i ¦'¦yz - 1yzt) 1zz - ^zz'i
TXy = l(T'xy + ^S'y), T" = 7(n, + i^).
617. Ta = 0.
618. Импульс и энергию поля в обьеме V в момент t = ^ можно
выразить интегралами / Тоа dS и / Too dS соответственно, где dS - элемент
гиперповерхности xo = const (очевидно, dS = dV). Аналогичными интегралами
выражаются импульс и энер-
х'о
гия поля в момент t' = -. Введем про-
гс
извольный вспомогательный постоянный 4-векгор at и составим сумму Тщац.
Рассмотрим далее 4-обьем Q, ограниченный цилиндрической гиперповерхностью
S, образующая которой параллельна оси хо, и двумя гиперплоскостями: xo =
const и х'о = const (рис. 103).
Применим 4-теорему Гаусса к интегралу по этой гиперповерхности от функции
То* а*:
T0iai dS = J ~^~rai dSl = 0,
n
<VT1
так как = 0 при отсутствии зарядов. На цилиндрической гиперповерх-
С/Х%
ности То* = 0, поскольку на границах объема V системы поле отсутствует.
494
ГлаваХ
Тогда (учитывая направление нормали) получим
ai JT0idV = a' JT^dV'.
Другими словами, величина а* / То* dV - инвариант относительно
преобразования Лоренца. Но тогда / То* dV должен быть 4-вектором (ср. с
задачами 597 и 4).
619. Вычислим изменение Kik1 за время dt. При этом придется сравнивать
значения Kik на двух близких гиперплоскостях t = const и ( + + dt =
const. Учитывая, что на бесконечности поле отсутствует, можно
преобразовать разность интегралов по этим гиперплоскостям в интеграл по
