Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
гиперболу с зарядом е' во внешнем фокусе.
713. Дифференциальное сечение рассеяния может быть вычислено по формуле
а(в)
sds sin в dO '
(1)
где в - угол рассеяния частицы, соответствующий данному значению s-
параметра соударения (прицельного расстояния). Связь s и в может быть
найдена из уравнения траектории частицы (см. задачу 712). В случае
притяжения [ее' < 0) cos a > -Угол а меняется
от - ао до ао (рис. 120) при прохождении ча-
(1 \ Рис. 120
cosao = - g J. Угол рассеяния в дополняет угол
между асимптотами гиперболической траектории до ж. Из рис. 120 видно,
1 1 _______ 1 1 __________ ?.2
sin (0/2)
- 1 =
cos2 ао
- 1 = - 1 =
28К
2 /2 me е
Момент импульса выражается через прицельное расстояние s
536 Глава XI
формулой К = mvos. Таким образом,
s2= eVictg2|.
m*v о ^
Дифференцируя и подставляя в (1), получим
а(в) =
V2Tnv%) gin4|
Это - известная формула Резерфорда. Тот же результат получается при ее' >
0.
714. В случае ее' < 0 (притяжение):
Й=( , a*
\Vc2K2 -Z2e4 / v/c2a:2 - Z2e4 cZe2
где зд - скорость заряда при г -* оо.
В случае ее' > 0 (отталкивание):
Л _ 2сК vqVс2К2 - Z2e4
О = 7Г----. ----arctg-----------------.
Vc2K2 - Z2e4 cZe2
715. Малым углам рассеяния отвечают большие прицельные расстоя-
ния s. Поэтому, положив К = pos, где ро - импульс частицы при г -* оо,
можно найти интересующую нас зависимость угла рассеяния в от s предельным
переходом s -> оо ^при этом, очевидно, К > в общих
формулах, приведенных в предыдущей задаче. При выполнении предельного
перехода как в случае ее' < 0, так и в случае ее' > 0, получается один и
тот же результат:
0 = 7r-2arctg" = ^cl,
о lee'l откуда s = 2
vopoO
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 537
716.
6. х = vt = 7TVyj •
2е2
717. Ускоряющее электрическое поле:
1 <1Ф
Еа
litre dt '
где г - радиус орбиты электрона, Ф - магнитный поток, пронизывающий
орбиту, а - азимут электрона.
При передвижении электрона на орбите на расстояние г da поле Еа совершает
работу
6A = Earda. (1)
Ускорение электрона происходит на орбите постоянного радиуса г =
еН о
(см. задачу 695), где Но - магнитное поле на орбите, перпендикулярное ее
плоскости и нарастающее со временем. Из условия dr = 0, находим
dp=?-dH0. (2)
Энергия электрона § = Су/р1 + т2с2 увеличивается на
c2pdp с2р2 dH0 /оЧ
dg = = -рн-' ^
& & п о
если использовать равенство (2). Очевидно, что
6 А = d§. (4)
с2 V И
Подставляя (1) и (3) в (4) и используя равенство = v = г=§^, получим
& at
после интегрирования
Ф = 2Ф0,
где Фо = 7гг2Я0.
Последним равенством и выражается искомое правило "2 к 1".
718. Энергия U взаимодействия двух заряженных частиц определяется
формулой (XI.23), в которую нужно подставить заряд е\, одной из частиц и
запаздывающие потенциалы <р2, А? поля другой частицы. Воспользовавшись
разложениями, приведенными в задаче 757, получим:
538
Глава XI
где R - расстояние между частицами. Выбрав калибровочную функцию \ в виде
произведем градиентное преобразование потенциалов. Новые потенциалы
принимают вид:
U = eiip2 - ^-(vi • А2) = - ^2 [у1 • v2 + (vi •
n)(v2 • n)]|.
Эта формула приближенно учитывает то обстоятельство, что сила,
действующая на одну из двух взаимодействующих заряженных частиц,
находящихся на расстоянии R друг от друга, определяется предшествующим
положением и состоянием движения другого заряда. Энергия и импульс
передаются зарядами полю и переносятся полем от заряда к заряду в те-
D
чение промежутка времени Частицы и поле образуют единую систему, и
вследствие этого невозможно точное описание движения системы
взаимодействующих частиц без привлечения степеней свободы поля.
720. Магнитный момент частицы прецессирует вокруг направления магнитного
поля с угловой частотой ш = - хН.
721. В мгновенно сопутствующей системе, согласно (Х.25), существует
магнитное поле
ег dR к 2с dt'
А2 = А2 + gradx =
e2[v2 + (n • v2)n] 2cR
где
Отсюда для энергии взаимодействия получаем формулу Брейта:
719.
L 8 с* * 8с К
^||[vi • v2 + (vi • n)(v2 • n)].
1
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
539
где Б - электрическое поле в неподвижной системе, а к<с, Спиновый
механический момент в сопутствующей системе изменяется по закону
) = ш х Н'.
\dt / сопутств
С помощью формулы, приведенной в условии задачи, найдем
Из сравнения этого уравнения с уравнением (VI. 14) получаем, что Нэфф в
рассматриваемом случае имеет вид
_тт/ ШС
эфф - "Н-----ё^т*
Но
•Air v__dV* и _____1_I^1
m ' dr г 34,41 2mcr dr '
где 1 - момент импульса частицы, создаваемый ее движением как целого
(орбитальный момент). Энергия взаимодействия магнитного с эффективным
полем имеет обычный вид
U = -ш • Нэфф
и, дифференцируя эту величину по углам, определяющим ориентацию tn, можно
найти обобщенные силы, действующие на магнитный момент. Окончательно
получим
2m с2 г dr
Это выражение используется в квантовой теории атомов и называется
энергией спин-орбитального взаимодействия (Я. И. Френкель, 1926 г.)
722. Энергия взаимодействия возникает только за счет томасовской
