Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
так что измененная собственная частота uiv = изv +
Связь между добротностью резонатора и декрементом затухания дается
формулой (IX.4).
466
Глава IX
. Система потеряет резонансные свойства
при достаточно высоких частотах, когда расстояние между соседними
собственными частотами станет сравнимым с шириной резонансной кривой,
определяемой декрементом затухания 7" = ljv/2Qv. При высоких частотах,
как следует из результатов задачи 530, расстояние между соседними
собственными частотами:
Приравнивая эту величину декременту 7, найдем область частот, для которых
система обладает резонансными свойствами:
При а и 1 см и <7 = 1017 сек 1 имеем: и ^ 3 • 1012 сек *.
539. Производя разложение Б и Н по собственным функциям идеального
резонатора, как это сделано в задаче 537, получим для амплитуд р" и qv
систему уравнений:
Знак "'" у суммы означает, что член с и' = и отсутствует (он перенесен в
левую часть равенства).
Alj _ ъ2с? 1 AN ~ а3 из2"
(1)
q" - turf,, = -\jve ш1,
(2)
где ДП" = Alj - г7" - комплексный сдвиг собственных частот;
(3)
Ищем решение уравнений (1), (2) в виде
Qv - Qi/6
.0 iwt
(4)
Исключив величины q(r), получим
pl(u2 - 3-ul) = ^г-jv +2AQ.V'p°v,. (5)
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 467
Решаем систему (5) методом последовательных приближений. В нулевом
приближении отбрасываем сумму (53;) и получаем
О _ __________ШуЗу___________ Zg\
v с(и>2 - 2 (jjAQv - и>1)
В следующем приближении получим добавку к (6), равную
S-JXa.
Она мала, если и> близко к и>", а все остальные собственные частоты
удовлетворяют условию \и> - ov | 3> |ДП,/'|.
Выразим знаменатель (6) через добротность Q" и измененную собственную
частоту ujv = u)v + Auiv. Имеем:
utAflv = ujAuju - iut'Yv ~ u)vAu)v - Vf^.v,
что справедливо вблизи резонанса (|w - и>). Отсюда
ро и, qo и-------------------------------------------. (7)
/ 2 ~2 I (2 ~2 ,
Ч" "г + _ог) 4"-^ +-"г)
Зависимость амплитуд поля от частоты имеет резонансный характер, при
заданном j поле при резонансе тем больше, чем выше добротность
резонатора:
О _ О _ jvQv /о\
Чi/рез "vрез c^j,/ ' ' '
Из полученных формул следует также, что проводник с током следует
помещать в пучность электрического поля Е" и ориентировать вдоль Е". При
этом величины j" и, следовательно, q(r) будут иметь наибольшее значение.
540. Если волновое поле с энергией W, заполняющее резонатор, отражается
от зеркала один раз, то потеря энергии составляет VF(1 - R). За время dt
теряется энергия
dW = -W(l - R)^,
468
Глава IX
где cdt/L - число отражений. По определению добротности (IX.4)
Q i =
wL
wW =__________________
dW с(1 - R) ' dt
Рис. 92 Где cj - частота рассматриваемых колебаний.
Излучение через боковую поверхность вызвано тем, что ограниченный в
поперечном направлении пучок света не может быть строго направленным. Он
обязательно имеет поперечную составляющую волнового вектора Ак±, которую
можно оценить из условия Ак± • D ~ 1 (см. задачу 424). Это приведет к
тому, что лучи света, распространяющиеся от одного зеркала к другому,
образуют слегка расходящийся пучок с углом раствора
20 =
2 Ак±
2 с Duj'
Часть лучей не попадет на второе зеркало (рис. 92), и потеря энергии при
одном отражении составит WL6/D. За время dt потеря
dW = -W^4 ^ = -W-4- dt.
D L D2lj
Добротность за счет излучения:
q2
D2uj2
Если потери в зеркалах и на излучение малы, они складываются. Полная
добротность Q определяется по формуле
± = -L + -L.
Q Qi Q2
При указанных в условии задачи значениях параметров:
Qi ~ 4 • 105; Q2"4-108"Qi; Q и Qi и 4 • 105.
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 469
Рис. 93
541. Если первоначально луч распространялся по нормали к плоскости
одного из зеркал, то после n-го отражения угол между нормалью и лучом
будет равен n/З (рис. 93). За п-е прохождение между зеркалами луч
смещается на расстояние n(3L; число отражений N до выхода луча из
резонатора оценивается из соотношения
При N " 1 получим N = , что соответствует времени затухания
Это время можно отождествить с обратным декрементом затухания 7:
Чтобы непараллельность зеркал не уменьшила существенным образом
добротности резонатора, требуется выполнение условия Q3 < Q, где Q -
N
J2n0L&D.
П=1
собственного типа колебаний
Добротность за счет непараллельности зеркал:
470 Глава IX
добротность резонатора с параллельными зеркалами. Отсюда
о ^ и2 DL " 2с2 Q2 '
Для параметров резонатора, приведенных в условии предыдущей задачи,
находим
/3 < 0,0012.
542. а) Угол "в принимает дискретные значения, определяемые условием
L пХ
cos $ 2 '
(1)
где п>1- целое положительное число. Если при заданном А возможно значение
$ = 0, которое соответствует n = no (L = поА/2), то дискретные значения
угла <С 1 определяется формулой
МтГ- <2)
б) Добротность Q1, учитывающая потери в зеркалах, была найдена в задаче
540. Добротность Q2, связанная с потерями на излучение, по порядку
величины составляет
q2 = ^ при *>е, q2 = ^ = v^- при *<е, (3)
где в - угол дифракции, определенный в задаче 540.
