Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Aik =
( 0 -В\ -В2 -Вз\
-В\ 0 Лз -А<2
В% -Аз 0 А\
\ Вз Ач -А\ 0 )
где А = (А\,А2,Аз) и В = (В\,В2,Вз) - трехмерные векторы (точнее, В -
полярный, а А - аксиальный вектор).
595. Инвариантная величина
, dip , dip , dip . dip .
dip = ^- dx о + q- dx i + q- dx2 + ~- dx 3
dxо dxi 0x2 dxз
имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета; поскольку dxi
(г = 0,1,2,3) - компоненты 4-вектора, то совокупность величин
V " = (Ёи. -Ёи. dLp \
Vflxo' axi ' dx2'dx3)
§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры
487
также является 4-вектором. Таким образом, оператор четырехмерного
градиента, определенный в виде
где V - оператор трехмерного градиента, преобразуется как 4-вектор.
596. Tik - Vfci4j,
Vfc
(_д________д_______д______д_^
\дх0 ' dxi ' дх2 ' дх3 Четырехмерная дивергенция
" л дА0 , дАг , дА2 , 9Л3
i l_ 9х0 9xi <9х2 9х3 _mV'
Рис. 101
597. а) скаляр; б) 4-вектор.
598. Перепишем условие параллельности векторов Ai и Bi в виде (умножив
числитель и знаменатель каждой из дробей на одно и то же число):
QjQjAo _ - ацА\ _ - Qt2jA2 _ - otzjAz aoiBo - atuB- - ot2iB2 - a3iB3
Воспользовавшись теперь известным свойством равных отношений, получим:
Aj _ otojAp - oigAi - ot2jA2 - а?3}Лз _ Л^
Bi otoiBo - ot\iB\ - a2iB2 - aziBz B[
599. Существенно различны четыре компоненты. Они совпадают с точностью
до знака с компонентами вектора Ai = ^eikimAkim> откуда Ло = Л123 = Л231
= . . •, Л1 = -Л230 = Л320 = • • •, А2 = - Лзю =
= Л130 = ..., Лз = - Л120 = Лгю = ... Остальные компоненты Л"ы равны нулю
(у них имеются совпадающие индексы). Отсюда следует, что не равные нулю
компоненты Лш преобразуются при четырехмерных поворотах и отражениях как
компоненты четырехмерного псевдовектора.
488
ГлаваХ
601. Если Xi = dikx'k, то матрица а имеет вид (координату xq пишем на
четвертом месте):
/cha - sha 0 0 \
^ sha -cha 0 0
a_ 0 0 -10 '
V 0 0 0 -1/
602. Искомую матрицу д можно представить в виде произведения трех
матриц:
g = g(ti,<p)g(a)g-1(tf,ip).
Матрица
0 0 0 \
cos тд cos ip sin tp sin тЭ cos <p
cos i? sin ip - cos >p - sin i? sin >p sini? 0 - cosi? /
описывает пространственный поворот системы отсчета (рис. 101):
Xi = gik{ti,<p)x'k-
/cha 0 0 - sha\
0-10 0 I
0 0-1 0
^sha 0 0 -cha/
соответствует переходу к системе отсчета S" от системы S'", движущейся
вдоль оси ?3 со скоростью V/c = tha (т. е. описывает преобразование
Лоренца для координат xq, ?3). Наконец, матрица g-1(i9, ip) описывает
поворот, в результате которого система отсчета S' переходит в S'" (см.
рис. 101). g_1(i9, (р) совпадает с матрицей, транспонированной к ip).
Перемножив матрицы, найдем:
ch а -из 1 sh а -из2 sh a
u?isha w?(l - cha) - 1 из\из2(\ - cha)
u>2sha из\из2(1 - cha) - 1 0^(1 - cha) - 1
u?3sha и>1о;з(1 - cha) из2^з(\ - cha) - 1
-изз sh a и>1о;з(1 - cha) из2изз(\ - cha) о>з(1 - cha) - 1)
Матрица
ff(a) =
g(rf, <p)
/1
0
0
vo
где
wj = sin i? cos ip, u>2 = sin i? sin <p, Ш3 = cos d.
§ 3. Релятивистская электродинамика
§ 3. Релятивистская электродинамика
489
603. В вакууме:
В средах:
р = 7(р' 4хМ')-(г
Формулы преобразования для пар векторов Б, В и D, Н аналогичны формулам
преобразования пары Б, Н в вакууме.
604. Задача имеет бесчисленное множество решений. Если найдена система
S' (движущаяся со скоростью V), в которой Е' || Н', то в любой системе
отсчета, движущейся относительно S' вдоль этого общего направления, Б и Н
будут параллельны, как это следует из (Х.25). Будем искать в связи с этим
только ту систему отсчета S', которая движется перпендикулярно плоскости
Б, Н. Воспользовавшись условием параллельности векторов Е' и Н', Е' х Н'
= 0 и формулами преобразования из задачи 603, найдем:
605. Для предварительного исследования удобно воспользоваться
инвариантами поля. При Е > Н должна существовать система отсчета, в
которой Н' = 0, Е' = \/Е2 - Н2. При Е < Н существует система отсчета, в
которой Е' = 0, Н' = у/Н2 - Е2.
у Е2 + Я2 - у/(Е2 - Я2)2 + 4(Е • Н)2
- - Е х Н---------------------------------
С помощью инвариантов поля получим далее
Е'2 = 1[Е2 - Я2 + у/(Е2 - Я2)2 + 4(Е • Н)2],
Я'2 = 1[я2 - Е2 + у/ (Е2 - Я2)2 + 4(Е • Н)2].
490
ГлаваХ
В случае Е > Н имеем:
В любой системе S", движущейся вдоль Б' с произвольной скоростью,
магнитное поле также будет отсутствовать.
В случае Е < Н
606. При х < J?/с в системе отсчета, движущейся со скоростью V = = с?х/
параллельно оси цилиндра в направлении вектора Е х Н, элек-
При я = /с не существует такой системы отсчета, в которой имелось бы
только электрическое или только магнитное поле. Как видно из приведенных
формул, при х -* /с скорость такой системы отсчета стремилась бы к с, а
величины обоих полей - к нулю.
607. а) В фиксированный момент времени (dt = 0) получаем уравнения dr х
Н = 0, Е • dr = 0. Первое из них показывает, что dr || Н, т. е. dr
является элементом магнитной силовой линии. Систему (2) можно записать в
виде Fik dxk = 0, откуда следует ее релятивистская инвариантность. Здесь
Fik - тензор поля, dxk - приращения координат.
