Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
друга на расстоянии Ax' = /о, произошли два события, одно на At' позже
другого. Расстояние между ними в системе S определяется с помощью (Х.1):
I = Ах = 'у (Ax' - VAt'),
откуда, подставляя Ах' и At', находим I = /о\Л - Р2 - длину ребер ВС и AD
в системе S. Они испытали обычное лоренцево сокращение. Их
§ 1. Преобразования Лоренца
483
изображения (с учетом сокращения в фотоаппарате) будут иметь длины у/1 -
/З2.
Чертеж изображения куба приведен на рис. 98а. Любопытно отметить, что
такое же изображение даст неподвижный куб, повернутый относительно V на
угол а = arcsin(V/c). Видимая форма предмета в данном случае не
испытывает деформации из-за лоренцева сокращения - предмет только
"повернулся" на угол а. Этот результат, как оказывается (см. [24], а
также следующие задачи), имеет место для любого предмета и любого угла
между скоростью и направлением наблюдения.
Нужно только, чтобы предмет был виден под малым под малым телесным углом.
Если бы были справедливы преобразования Галилея, то ребра A'D' и В'С' не
испытали бы лоренцева сокращения, и изображение приняло бы вид,
показанный на рис. 986. Задняя (по отношению к направлению движения)
грань куба по-прежнему была бы сфотографирована. Таким образом, видимая
форма движущегося предмета подверглась бы искажению.
/о|\Д
/32cosa' - /3sina'|, "цш, при котором функ-
Рис. 99
582. а) /
/3 = V/c. Значение а'т
ция 1ч/Т^ cos а' - /3 sin а' | имеет максимум, определяется условием tga^
= -0/y/l - /З2.
При этом / = /0: таким образом, наибольшая длина / равна /о. Изображение
в этом случае эквивалентно изображению неподвижного стержня,
ориентированного параллельно фотопластинке. Стержень "повернулся" на угол
7г - а'тах. ______
а) а' = arctg^-^ ^ j; в этом случае изображение получится таким,
как если бы стержень был неподвижен и ориентирован перпендикулярно
фотопластинке.
б) Если два наблюдателя, неподвижных в системе 5, одновременно сделают
зарубки на плоскости ху в точках М и N, мимо которых в данный момент
проходят концы стержня, то полученный ими отрезок MN будет составлять с
осью х угол
а
arctg{
484
ГлаваХ
583. Изображение будет иметь форму круга. Сфотографируется полусфера,
заштрихованная на рис. 99. Она ограничена плоскостью А'В', составляющей
угол
, 0 а = arete -.
с направлением V (в системе шара). Вопреки естественному интуитивному
представлению, движущийся шар не воспринимается наблюдателем как
эллипсоид, сплющенный в направлении движения. Лоренцево сокращение
оказывается невидимым! Но это, разумеется, не означает, что оно
отсутствует.
Рис. 100
584. Видимые положения куба изображены схематически на рис. 100. При V/c
< cos а видна передняя грань A'D' и нижняя грань А'В'. Если в оптической
системе фотоаппарата не происходит сокращения размеров предмета, то
AB = loy/l^p SLnQ , AD = lo COS°~0 .
1-pcosa 1-pcosa
§ 1. Преобразования Лоренца 485
С помощью этих формул находим угол д поворота куба:
п 7г Л " cos а - в
¦в = - - a-в, где tg6 ~
2 sina-y/l - /З2
При V/c = cos а имеем •в = it/2-а и видна только нижняя грань А'В'. При
V/c > cos а видны нижняя и задняя грани,
. тг в - cos a
= -г- - а + arctg , -----.
2 y/l - p2 sin a
Наконец, при V/c -> 1 видна только задняя грань, нижняя грань испытала
лоренцево сокращение до нуля, •в = п - а.
585. Пусть в системе отсчета S', связанной со средой, распространяется
плоская волна с частотой из и волновым вектором k'(fc' cos а', к' sin а',
0),
k' _L Oz. Фазовая скорость волны v' = - = ^ в системе S' не зависит от
п к
угла а', определяющего направление распространения волны. Компоненты поля
пропорциональны e~tk'iX>i, где /с' = к'). Так как фаза к{Х, =
к[оо[ -
инвариант относительно преобразования Лоренца, то ki представляет собой
4-вектор (волновой 4-вектор). Используя (Х.4) и (Х.14), мы можем найти
компоненты ki в системе отсчета S, относительно которой среда движется со
скоростью V || Ох, откуда
и> = 7u/(l + /3ncosa'), (1)
. _____ sin а'
^ ^ / / - л / \ ) (2)
7(cosa + p/n)
1 + fin cos a'
yjn2 + 2/3n cos a' + p2 (1 - n2 sin2 a')
(3)
где P = V/c, 7 = (1 - /З2)-1/2. Из (3) видно, что фазовая скорость в
движущейся среде зависит от направления распространения. Возникает
своеобразная анизотропия, связанная с движением среды.
586. Искомую скорость можно найти по формуле (3) предыдущей задачи (а' =
0):
1 + /Зп(А') с
v = с------------ яз ---------1- V
n(A') + Р п(А')
С n2(A'))'
486
ГлаваХ
Здесь А' = 2жс/и/, и/ - частота, наблюдаемая в системе S', относительно
которой среда покоится. По формуле (1) предыдущей задачи находим с
точностью до членов первого порядка по V/c:
_ QJ _ 1 . пУ
\ / ~ '
А и с
откуда
и окончательно
с _ с с dn^riV
п(Х') п( А) п2 dX с
7,_________1________A dn(X)\
п(Х) ' ' V n2(A) n(A) dX )'
+ V[
§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры
590. На трехмерный тензор II ранга Аар (а, 0 = 1,2,3), два трехмерных
вектора Аоа и Аао (а = 1,2,3), трехмерный скаляр Лоо-
591. Антисимметричный 4-тензор Ацс может быть представлен в виде:
