Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
§ 13.2. Метод решения автомодельной задачи при отсутствии вязко-невязкого взаимодействия
Уравнения пограничного слоя (7.14) на полубесконечном треугольном крыле представляют собой систему нелинейных уравнений в частных производных и не имеют аналитического решения. Наиболее общим методом решения этих уравнений является численный метод с использованием ЭВМ. В настоящее время для решения уравнений пограничного слоя широко используются численные конечно-разностные методы [Блотнер Ф., 1970]. Часто применяют неявные разностные схемы и метод прогонки [Браиловская И. Ю., Чудов Л. А., 1962; Пасконов В. M., 1963; Пасконов В. M., Полежаев В. И., Чудов Л. А., 1984]. Для решения систем уравнений (7.14), (7.19), (7.21), в которых давление является заданной величиной, применяется конечно-разностный метод с использованием неявной шеститочечной разностной схемы (типа схемы Крэнка—Никольсо-на) со вторым порядком аппроксимации [Бондарев Е. Н. и др., 1993]. Для решения разностных уравнений используется метод прогонки. Учитывая, что коэффициенты при производных в системе уравнений зависят от искомых функций, то для сведения дифференциальных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений сначала производится их линеаризация. Уравнение неразрывно-
262
Гл. 13. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
сти также расписывалось в разностном виде со вторым порядком аппроксимации. Так как указанные системы уравнений являются параболическими, то после нахождения решения с заданной точностью при заданном значении координаты ? определялись функции течения при % + Al- и т. д.
Заметим, что указанные системы уравнений в частных производных на передней кромке крыла при ? = 0 вырождаются в системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые также аппроксимировались конечными разностями со вторым порядком точности и решались методом прогонки. Эти решения определяли начальные условия для решения маршевым методом систем уравнений в частных производных.
§ 13.3. Метод решения уравнений пограничного слоя в плоскости симметрии
Для решения уравнений продольного импульса и энергии системы обыкновенных дифференциальных уравнений (8.21), описывающих течение в пограничном слое в плоскости симметрии треугольного, применялся метод прогонки. Однако уравнение поперечного импульса в общем случае не может быть решено этим методом, так как из—
ется достаточный признак хорошей обусловленности [Годунов С. К., Рябенький В. С, 1973]. Поэтому для решения этого уравнения использовалась схема Рунге—Кутта, имеющая четвертый порядок аппроксимации, и решалась задача Коши, вместо краевой задачи. Подбор второго граничного условия на поверхности крыла производился из условия обращения в ноль величины W1 на внешней границе пограничного слоя.
§ 13.4. Релаксационный метод решения автомодельной задачи
Автомодельная задача описывается уравнениями (8.11)-(8.13) и решалась релаксационным методом [Вазов В., Форсайт Дж., 1963]. Для аппроксимации уравнений использовалась разностная схема второго порядка аппроксимации по Ar) и первого или второго порядка по А*, причем разностная схема первого порядка по At использовалась только при отходе от кромок крыла, т. е. при значениях координаты t = ± At. Следует отметить, использование схемы первого порядка при этих значениях поперечной координаты t дает вполне хорошие результаты, так как система уравнений записана в
за наличия в нем неоднородного члена
§ 13.4. РЕЛАКСАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 263
переменных подобия (8.9), (8.10). Производные по координате t расписывались в разностном виде с учетом направления параболич-ности. В зависимости от знака коэффициента ад1 + Z0U0F1 при d/dt применялись правосторонние или левосторонние производные по t [Carter J. E., 1974]. Таким образом разностная схема учитывает направление течения внутри пограничного слоя.
Ниже в § 13.6 будет подробно изложено обобщение метода расчета на трехмерные течения и приведены разностные выражения, поэтому в данном параграфе метод излагается коротко. Для решения разностных уравнений использовался метод прогонки [Годунов С. К., Рябенький В. С, 1973, Браиловская И. Ю., Чудов Л. А., 1962]. Для линеаризации разностных уравнений значения определяемых функций, входящие в коэффициенты уравнений, брались с предыдущей итерации. Интегралы в выражении для толщины пограничного слоя вычислялись по формуле Симпсона с точностью О(Ат)4).
Расчеты проводились следующим образом. Сначала решалась задача на кромках крыла, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений (8.15), с использованием метода прогонки. Как показали численные расчеты, необходимо добиваться высокой сходимости при решении этой системы. В расчетах обычно ставилось условие, чтобы относительное отличие между значениями продольного компонента скорости и* на втором слое для двух последующих итераций было меньше 10~6. Для этого требовалось примерно 40 итераций. Затем при некотором заданном распределении давления, совпадающем с давлением на передних кромках, решалась система уравнений пограничного слоя и вычислялась толщина вытеснения. После этого производился расчет нового давления, и это значение использовалось для релаксации давления. Также производилась релаксация газодинамических переменных и0, wl, g*. Коэффициенты релаксации для этих функций были порядка <р 0,1 -і-0,5. После этого снова производился расчет газодинамических переменных и интегрирование продолжалось до тех пор, пока не достигалась требуемая точность. Проверка сходимости итераций производилась по величине давления — наиболее медленно сходящейся величины. Задача считалась сошедшейся после того, как отличие между значениями давления для двух последующих итераций становилось меньше, чем 10"5. Для этого требовалось примерно 300—600 итераций, в зависимости от задания начального приближения.
