Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
На основании полученных данных можно сделать вывод, что предложенный метод не только позволяет существенно сократить время расчета течений вязкого газа около треугольных крыльев на режиме вязкого взаимодействия, но и производить расчеты течений с развитыми зонами возвратных поперечных течений.
§ 13.6. Метод решения трехмерных уравнений пограничного слоя
Решению уравнений трехмерного пограничного слоя посвящено много работ и поэтому развиваются различные методы решения [Шевелев Ю. Д., 1977]. Среди них метод, который является обобщением на пространственный случай многопараметрического метода, предложенного Лойцянским [Богданова В. В., 1968]. Метод интегральных соотношений, предложенный Дородницыным, для исследования задач трехмерного пограничного слоя на острых эллиптических конусах под углом атаки [Башкин В. А., 1968]. Метод последовательных приближений, предложенный для двумерных задач в работах Тирского [Тирский Г. А., Шевелев Ю. Д., 1973]. Развиваются конечно-разностные методы расчета, позволяющие моделировать течения в трехмерном пограничном слое около тел сложной формы [Краузе Э., Хиршель Э. Г., 1973; Введенская Н. Д., 1966; Шевелев Ю. Д., 1967, 1971; Дуайер Г., 1966].
В настоящей работе для решения уравнений используется конечно—разностный метод решения трехмерных уравнений с учетом вязкого взаимодействия, который является обобщением методов,
б 13.6. МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 267
изложенных в книге Шевелева Ю. Д. (1977) и в работе Картера [Carter J. E., 1974]. В работе [Шевелев Ю. Д., 1977] подробно обсуждаются также условия хорошей обусловленности разностных схем.
13.6.1. Аппроксимация уравнений. Для решения системы уравнений пограничного слоя (6.6) использовался неявный конечно-разностный метод. Для аппроксимации уравнений применялись разностные схемы первого и второго порядка по координатам
х, 6, и второго цорядка по координате rj, которые строились согласно шаблону точек, приведенному на рис. 13.2. Разностная схема первого порядка по Л 6 использовалась только для расчета функций течения при отходе от кромок крыла, т. е. при 0=1 — Д0, 0 = -1 + А0, а также в окрестности плоскости симметрии крыла 0 = О±Д0 при симметричном обтекании. Разностная схема первого порядка по Ax (Ax — шаг по координате х) для системы (6.6) использовалась только при отходе от вершины крыла, т. е. при X = Ах. Для схем первого порядка по Ax и Д0 соответственно не использовались точки (/ — 2, Л^, K)9
(1 + 1,N9K) и (I9N-I9K)9 (I9 N+ I9 К) рис. 13.2. Далее раз-
ностные соотношения приводятся только для схемы второго порядка точности по всем направлениям.
Запишем уравнения импульсов и уравнение энергии в следующем виде:
/-2.ЛГ.Х 1-UN4K I4N -1,KJf
J1N-XK/
/4,N+ 2, К
Sl1N *\%К / + 1,ЛГ,Х / + 2.ЛГ./С
X
Рис. 13.2
дх
+ в
(13.9)
ще под / понимается одна из функций и9 W9 g.
В связи с тем, что в общем случае возможно изменение знаков коэффициентов Л и В в уравнении (13.9), производные представим
268
Гл. 13. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
в разностном виде с учетом направления параболичности системы (13.9) [Carter J. E., 1974]
дх \ I1 N, К
AItNtK + \Al, Nt КI ^I1N1K *f 1-I1N1K +? 1-2,N1K _
2 2Ajc
AIf N,K~\AI,N,k\ I, N,K~*f /4-1, N1K +f 1+2, N1 K
2 2Ajc »
(13.10)
/. N1 K
8I1N1K + 1BJ,N,kI I1N1K 4Л, N-I1K + ^I1 N-2, K _
2 2A9
_ BI,N,K~ \BI,N%k\ l,N,K~~~*fI1NbI1K +fI,N+2%K
2 2Д9
Таким образом, разностная схема автоматически учитывает направления течения внутри трехмерного пограничного слоя. Для производных по координате т\ используем следующие разностные аппроксимации второго порядка точности
f I1 N, К+1 I1N1K-I 2At1
C9J-
= с
I /, N, К '• К
(13.11)
дч\2
= D
I4 N,K
I, N, К
f I1 N1 X+l 2^ I1N1K + Jl1 N1X-I AT]2
Неоднородный член E представим в разностном виде в точке (/, N, К) также со вторым порядком точности, причем производные
— и аппроксимируем центральными разностями.
Для аппроксимации производных от толщины вытеснения, входящих в выражение для определения давления (6.6), используются следующие разностные выражения
OA1 дх
дб
/, Л/
_ ^E1I1N+! А?, /,Af-I
2А6
+ О(Д02)
(13.12)
_ 1^E1I1N ^E1I-I1N
Ax
+ О(Дх) для / = 2
ад.
дх
/, л/
Шаблон для представления в разностном виде уравнения неразрывности во всех точках расчетной области, кроме задней кромки
§ 13.6. МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 269
I%N+UK
/-1,ЛГ,Х I4N9K/
I-UN+1,K
J1N +UK
tK-l I A%N+UK-\
Рис. 13.3
крыла, приведен на рис. 13.3а. Для уравнения неразрывности в точке I, N, К— ^ со вторым порядком точности по всем переменным имеем
I,N,K~ V0 I4 ЛГ, K-I +
+ {К, N9 К + WI% N9 K-I - Zo(UI, N,K + UI% АГ. *-і)ЄЛГІЄЛГ "
"О Є&) ? "д7 (И/+1, ЛГ, Л "" N9 К + ЛГ, K-I AT1 #С-і)"
z 6
ДО" (ИЛ ЛГ+1, JC ~~ м/, ЛГ-1, x + ul9 N+U K-I ~~ М/, AT-I1 x-l) + + Хв (W/. "+1» * ~~ W/. iV—1, JC + Ш/, АГ+1, »/, JV-1, JC-l) +
+ тК^д-"/^д-1)]|. (13.13)
270
Гд. 13. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
Для решения уравнения неразрывности на задней кромке крыла также со вторым порядком точности по Ax используется шаблон,
