Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
Для исследования влияния сеточных параметров на результаты численных решений конечно-разностных уравнений были проведены параметрические расчеты при различных значениях At) и At, варьировался также размер расчетной области по координате т). Было установлено, что вполне удовлетворительная точность результатов численных расчетов получалась при следующих значениях шагов сетки:
264
Гл. 13. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
At = 0,1, Ат] = 0,1 0,5. Численные расчеты показали также необходимость следить за размером сетки по координате, нормальной к поверхности крыла, так как в окрестности плоскости симметрии крыла, как правило, существенно возрастает толщина пограничного слоя. В ряде случаев использовалось до 180 узлов по вертикали.
§ 13.5. Модификация релаксционного метода
Описанный выше релаксационный метод численного решения краевой задачи использовался как при симметричном, так и несимметричном обтекании тонких треугольных крыльев. Однако расчеты показали, что при определенных условиях резко ухудшается сходимость итерационного процесса из-за возникновения возвратных поперечных течений и существенно возрастает время решения краевой задачи из-за значительного уменьшения коэффициентов релаксации.
Для преодоления этих трудностей предлагается итерационная процедура, на каждом шаге которой вводится функция невязки, определенная на всей длине расчетной области и представляющая собой разность между заданным и полученным в ходе решения уравнений пограничного слоя распределениями давления р [Ду-дин Г. H., Лыжин Д. О., 1983]. Эта функция используется в дальнейшем в обыкновенном дифференциальном уравнении второго порядка относительно р, решение которого позволяет определить новое приближение для распределения давления.
Пусть в начале n-й итерации задано распределение давления p(n)(z) на равномерной по z сетке в расчетной области [—1, 1], удовлетворяющее условию p(")(z = ± 1) = рг Тогда система уравнений пограничного слоя (8.17) с заданным таким образом распределением давления решается численно с помощью релаксационного метода переменных направлений в соответствии с изменением направления распространения возмущений в областях с возвратными токами. Рассчитанные при этом поля газодинамических переменных w(n)(z, г)), wW(z, ті) и js<n)(z, г\) дают возможность определить толщину вытеснения A(")(z) и таким образом вычислить полученное распределение давления p?n)(z) с помощью (8.18). Для вычисления нового приближения p(n+1)(z) и перехода к следующей итерации используется соотношение
где функция изменения давления Ap(")(z) представляет собой решение следующей краевой задачи:
p(*+i)(z) = p(*)(z) + ApW(Z),
(13.4)
dz*
- аД/*») = а(р(») - /#>), Ар(»)(2 = ±1) =0. (13.5)
Здесь а — некоторая положительная константа.
§ 13.5. МОДИФИКАЦИЯ РЕДАКЦИОННОГО МЕТОДА
265
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока функция pM(z) и pfr)(z) не совпадут с заданной точностью на всем расчетном интервале.
Примененный алгоритм можно трактовать как математический прием, используемый для релаксации функций pM(z) и P^1Kz), позволяющий построить новое приближение /rtn+1)(z), удовлетворяющее при z = ± 1 тем же граничным условиям, что и p(n+1)(z), и отвечающее требованию pfa+1)-* рОО, если p(*) — р?*)О на всем отрезке [—1, 1].
Следует отметить, что краевую задачу (13.5) можно построить, используя исходные уравнения пограничного слоя (8.17). Для этого рассмотрим л-й шаг описанной процедуры и запишем уравнение поперечного импульса на поверхности тела
2ур№ д2
dz ~~ \ -z2
— Z
(13.6)
Здесь индекс w обозначает поверхность тела. Продифференцировав тождество (13.6) по z, получим
(13.7)
<р0
2ур(")
2 р(*>
d d2oAn)
dz dr\2
dz
dz dr\2
Г dz J l-z2
Используем соотношение (13.7) для построения нового приближения p(n+1)(z), введя функцию невязки р(п+1) — pfg)\
= ^)(,) + а(р(-1+1) - р?0), J1(B+I)(x = ± 1) = P1, (13.8)
Вычитая из уравнения (13.8) тождество (13.7), приведем краевую задачу для p(rt+1)(z) к форме
(р(»+і)-р(»>)2я±1 = 0,
полностью совпадающей с (13.5).
Следует отметить отличие данного подхода от релаксационного алгоритма, использованного в [Дудин Г. H., 1978, Дудин Г. H., Нейланд В. Я., 1980], который можно назвать «локальным», так как в нем для определения нового прогноза для величин давления в дан-
266
Гл. 13. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
ной точке используется информация о заданном и полученном давлении только в рассматриваемой точке. В предложенном в данном параграфе методе для определения нового давления используются заданные и полученные значения давления во всех точках расчетной области, включая граничные.
Как показали результаты численных расчетов пограничного слоя на полубесконечных трегольных крыльях, применение предложенного метода релаксации давления позволяет провести расчеты на крыльях с достаточно большими углами стреловидности, при которых в пограничном слое существуют развитые зоны возвратных поперечных течений. При этом следует отметить, что время, требуемое для решения краевой задачи (8.17)-(8.19), при использовании предложенного метода, оказывается примерно в 5 раз меньше, чем время, которое затрачивалось в [Дудин Г. H., 1978] при расчете крыльев с одинаковыми параметрами. Величина константы а в (13.5) менялась от значения 50 для течений со стека-нием к плоскости симметрии до 2 для течений с возвратными токами.
