Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
приведенный на рис. 13.36. В точке ^/— ^N9K- уравнение
имеет вид
I- 1/2, N4 К-1/2
2\дх\\ 1-I4 N4 К-1/2 дх\ I4 N4 К-І/2) 11 | /
-1/2, N4 К-Ц2
ще фигурными скобками обозначена правая часть уравнения неразрывности (11.5).
Окончательно получаем
v0 I4N4K- V0 I4 N4K-I +
К -1/2
(13.14)
В настоящем параграфе излагается решение краевой задачи (6.6) при заданном распределении давления на задней кромке
крыла. Причем для того чтобы производная везде вычислялась
в виде центральной разности, был использован дополнительный слой для функции р0 за задней кромкой на расстоянии Ах. Значения р0 на этом слое подбирались из условия, чтобы заданное давление на задней кромке совпало с давлением, вычисленным с помощью формулы касательного клина, т. е. должно выполняться соотношение
I±i { 1(1-«P)a, +-
-в[(1-Є2)^-|еДе]} =рі(Є).
Естественно, что это совпадение с заданной точностью получалось только по мере получения общего решения краевой задачи.
13.6.2. Решение разностных уравнений. Систему полученных разностных уравнений для функций и, w и g решаем методом скалярной прогонки последовательно одно за другим. Система нелинейных уравнений заменяется линейной системой разностных уравнений. С использованием прогоночного соотношения в виде
1№к = ҐУЇЇкРУХк + *П\к (13.15)
§ 13.6. метод решения трехмерных уравнений пограничного слоя 271
для прогоночных коэффициентов получаем выражения
*№к = І [*H!n. к - Cf Ищ к f), (13.16)
фА/ + 1 = 1 J AuL ИУ*.*+ Hf*.*' (AfM ^fM \-
4v1 n9 к " с \ 2Ax I 2 W* 7/-? iV. x^
W/+11 n9k" f /+2, JV. х)М +
АЛ*,Х_1^4AAUc[ZvIZAf _/ \А/
,tf.jeJ J
^ 2лє I 2 W/, AT-1,jc j 1,n9k)
-^*1' (4/fW~/?W)] +
где
I= 3, 4,In^xI N = 3, 4, Nmflx — 2; ^ = 1, 2, .K11181x; Af — номер итерации.
Для функций UHWB прогоночных коэффициентах D1 ^ к = 1, а для функции g значение Z)7 n9k = ^1"- Краевые условия для функций Фдлг, x и fi,n,k определяются обычным образом, исходя из граничных условий для системы уравнений (6.6). Для указанных условий (6.6) они имеют вид:
для фуНКЦИЙ UHW
fi9 n9k = Ф/, n9 к = 0» n9 JC^x = 1. Ф/, n1 k^ = 0;
для функции g
fi9 n9 1 = ф/, n9 1 = ^#, JV, x^ = 1. Ф/. JV1 x^ = 0.
Прогоночные коэффициенты FY%tfv,k и фл^!іс находились по значениям функций Uy W9 Vq и gj относящихся к М-й итерации. После нахождения из (13.15) значений и,ши^на (M + 1)-й итерации во всех точках производился пересчет всех величин
/*/, n. к - (1 - <0/if д,, * + а/*#ж, (13.17)
где a — параметр релаксации. После этого в качестве следующего приближения принималось f] N к- Значение а выбиралось опытным путем так, чтобы сходимость итераций была скорейшая.
272
Гл. 13. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
После нахождения f)%NK вычислялась толщина вытеснения, причем давление P1 N бралось с M-Pl итерации, а интеграл вычислялся по формуле Симпсона четвертого порядка точности. Затем из формулы касательного клина (6.6) определялось давление pf N на (M + 1)-й итерации. Однако, как показали расчеты, для устойчивости схемы значения давления также необходимо релаксировать, и для всех значений /, N производился перерасчет
Po/,* =(l-?)P8f/.* + ?PoA,/tV. (13.18)
Полученное значение P0 r N использовалось в качестве следующего приближения
Зная приближенные значения функций U1 ^ ю w!% N% к, P1 N на каждой итерации и используя граничное условие для V0 на поверхности крыла, из выражений (13.13), (13.14) находим последовательно величины V0 для всех значений К.
Контроль за сходимостью итерационного процесса осуществлялся по давлению р0 — наиболее медленно сходящейся величине.
Как показали результаты расчетов, разностная краевая задача устойчива при а = 0,1 ¦+- 0,5 для газодинамических переменных и, w и g и ? = 0,01 ¦+- 0,05 для давления р0. При больших коэффициентах релаксации итерационный процесс, как правило, оказывался неустойчивым.
Задача считалась сошедшейся после того, как отличие между значениями давления для двух последовательных итераций становилось меньше 10"4. Для этого требовалось примерно 200—400 итераций.
§ 13.7. Решение трехмерной задачи с учетом течения в следе
В § 12.4 описана постановка задачи об обтекании плоского треугольного крыла гиперзвуковым потоком совершенного газа под нулевым углом атаки с учетом течения в следе. Эта задача является существенно трехмерной, и ее численный анализ имеет свои специфические особенности, о которых и пойдет речь ниже.
При численном решении задачи форма границы следа zt(x) в плоскости х, t при т] = 0 заранее не известна, но может быть получена в процессе численного решения системы (12.14)-(12.16). При этом следует иметь в виду, что область возмущений, которые распространяются от конца крыла в этой плоскости в сверхзвуковом
потоке, ограничена углом Маха є = aresin rj- [Лойцянский Л. Г., 1970], и при М„»1 получаем е» 1/M00. Предполагая, что в следе
§ 13.7. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ С УЧЕТОМ ТЕЧЕНИЯ В СЛЕДЕ
273
реализуется режим умереного взаимодействия (% » 1), можно получить следующую оценку: х » Re01/4 » 1/M00. Следовательно, характерная безразмерная толщина пограничного слоя совпадает по порядку величины с указанной выше областью возмущений.
