Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
(рис. 7.10) значительно слабее Так, при
лении
ш dw*
1» = Р1Ї
а = 0,5 значение xw на нижней стороне превосходит xw на верхней стороне примерно на 25%. Увеличение напряжения трения в поперечном направлении на нижней стороне крыла по сравнению с вер-
Ё dp*
——— в уравнении по-
хней связано с тем, что градиент давления
р*2 dz
перечного импульса (7.14), который в окрестности передней кромки имеет вид (при 0,5 < ? < 1)
рт2 dz*
на наветренной стороне крыла больше, чем на подветренной.
§ 7.5. Приближенное решение задачи для треугольных крыльев
Выше уже говорилось (§ 6.3), что структура уравнений ламинарного пограничного слоя на тонком крыле малого удлинения такова, что позволяет представить решение в виде функционального ряда по малому параметру Z0 и тем самым свести трехмерную задачу к последовательному интегрированию систем двумерных уравнений. Такой подход, естественно, сохраняет силу для невзаимодействующего пограничного слоя, если dpi dz = O(l).
Исследуем эффективность указанного подхода на примере треугольных крыльев (m= 1, автомодельная задача). Для упрощения задачи будем предполагать линейную зависимость вязкости от температуры (со = 1).
148
Гл. 7. КРЫЛЬЯ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Для получения нулевого и первого приближений разложим функции и*, Vі, wl и g* по степеням z0:
*Ч1. Л. Z0) = w0(t Т|) + U1(^9 K])Z0 +
(7.18)
"1U» Л. *о) = V0(L Л) + Vi(I. Л)*о +
*•(!. л. *о) = Sod. 1I) + л)*0 + -
Подставляя разложения (7.18) в систему уравнений (7.14) и граничные условия, получаем:
уравнения нулевого приближения
с граничными условиями
U0 = V0 = W0 = 0, ?0 = ?w ПРИ 1I = O.
(7.20)
уравнения первого приближения
an 4 er, + у Vj M*
diu« diu,
- 2\(wt + z-u0) ^ - [», - П«і - 1«o («• + ^ * ]
§ 7.5. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ 149
дт] [рг at] Pr ат) J
* = ^ (7.21)
с граничными условиями
и = v. = W1 = 0, g. =0 при T) = О,
(7.22)
H1-^O, MJ1-^O, ^1 -*0 при т|-*оо.
При численном решении систем уравнений (7.14) в области 3 (рис. 7.1) необходимо учесть, что на кромке крыла p*(z*)—*<» , поэтому интеграл в (7.12) является несобственным и необходимо получить аналитические выражения для ?, — и -4? 4^" ПРИ z*-»l.
р* р z dz*
Подставляя выражение для распределения давления (7.10) при т=1 в интеграл (7.12), получаем
х [г^Т + 2/~2Р~р2 (1 - Г) + 0(1 - г)*]. (7.23)
Тогда
^ lz'-»l ' к
X + 2/"32Р~Р2 О - **) + 0(1 - *')2]. (7.25)
Интеграл (7.12) для z* < 0,99995 вычислялся по формуле Симп-сона, а для z* ^ 0,99995 — по формуле (7.23).
Сопоставление точного и приближенных решений проведено на рис. 7.2—7.7 для крыльев под нулевым углом атаки при следующих значениях параметров: a) Z0 = 0,2 (угол стреловидности ^79°), /=1,1, ? = 0,7 и 0,9; б) Z0 = 0,364 (угол стреловидности 70е). / = 0,8, ? = 0,7 и 0,9. На этих фигурах сплошными линиям обозначены точные решения, штриховыми — первое приближение и штрих-
пунктирными — нулевое приближение функциям к, w, g.
SDBOi
, ще / соответствует
W )
150 Гл. 7. КРЫЛЬЯ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Анализируя данные расчеты, а также результаты расчетов при других значениях параметров ? и I [Дудин Г. H., Нейланд В. Я., 1977] можно сделать вывод, что использование закона поперечных плоских сечений для расчета характеристик трехмерного пограничного слоя на крыльях степенной формы в гиперзвуковом потоке действительно дает погрешность O(z0), а использование первого приближения — 0(z§).
Рассмотрим теперь случай обтекания треугольного крыла под малым углом атаки и на конкретном примере определим, на сколько отличается решение для нулевого приближения от решения системы (7.14), в которой давление определяется выражением (7.8).
На рис. 7.8—7.10 приведены результаты расчета безразмерных значений напряжения трения на крыле в продольном хи и поперечном xw направлениях и теплового потока xg, вычисленные в точной постановке, а также в нулевом приближении при z0 = 0,2, Z=I, m=l, ? = 0,75 и значении угла атаки а = 0,5. Положительные значения а соответствуют нижней поверхности крыла, а отрицательные — верхней. На этих фигурах сплошными линиями обозначены точные решения, а штриховыми — нулевое приближение.
Сравнение точных и приближенных решений показывает, что применение закона поперечных плоских сечений дает занижение значения напряжения трения в продольном направлении хц примерно на 20%, т.е. порядка O(z0). Это уменьшение напряжения трения связано с отсутствием члена с градиентом давления в уравнении продольного движения при z0 = 0. В то же время напряжение трения в поперечном направлении xw, вычисленное в нулевом приближении, превосходит точное значение примерно на 20%. Это естественно, так как расчет проводился при z0 = 0, а следовательно, влияние градиента давления по размаху крыла является максимальным. Сравнение тепловых потоков xg (рис. 7.9) также показало, что отличие не превышает 20%. Таким образом, в рассмотренном случае использование закона поперечных плоских сечений для расчета характеристик трехмерного пограничного слоя дает погрешность O(z0), т. е. такую же, как и в случае обтекания без угла атаки.
