Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
6.1.3. О толщине вытеснения. По поводу использования в формуле (6.13) величины o? — толщины пограничного слоя, определяемой выражением (6.8), вместо толщины вытеснения о*, которая в пространственном пограничном слое должна определяться в результате решения специального дифференциального уравнения в частных производных (1.16) [Лойцянский Л. Г., 1962, Башкин В. А., 1984], интегрирование которого производится совместно с численным анализом уравнений пограничного слоя, заметим следующее. Так как плотность газа в пограничном слое в х2 раз меньше, чем в ударном слое, а компонент скорости в поперечном направлении в ударном слое в X2Iz0 раз меньше, чем в продольном направлении, то, исходя из указанного выше дифференциального уравнения, легко показать, что с точностью порядка X2Iz0 толщина вытеснения пограничного слоя о* равна величине 6С.
§ 6.2. КРЫЛО ПОД МАЛЫМ УГЛОМ АТАКИ
131
Действительно, в декартовой системе координат х°, у0, z° уравнение (1.16) для определения толщины вытеснения примет вид
[Р?"е0(*-0 - А?)] + ? [Р?а>е°(**° - Ч)] = Р&<> (6.16)
который сохраняется после перехода к переменным (6.3), (6.4).
Выражение в круглых скобках и правая часть уравнения (6.16) рассматривается в переменных внутренней области. Если перейти к переменным (6.5) и
o*o = 06•L, A? = OLA1, Ag = OLA2, то уравнение (6.16) преобразуется к виду
¦±5 [Р0И0(6. _ Ді)] + A5 [P^o(O. _ д2)] = Pwtv (6Л7)
После перехода к переменным (6.9) внешней области уравнение (6.17) запишется таким образом:
? [*е(6- - A1)] +^^ [Rt(Wt + ...)(&• - A2)] pwV Тогда для главных членов разложения следует
-i(»-^)H?-v (6Л8)
Таким образом, в гиперзвуковом потоке толщина вытеснения пограничного слоя в главном члене совпадает с его толщиной.
§ 6.2. Крыло под малым углом атаки
Рассмотрим обтекание гиперзвуковым потоком вязкого газа тонкого крыла, форма которого задана уравнением у0 = o?(x°, z°) с характерной толщиной т, под углом атаки а0. Система координат приведена на рис. 6.2. Компоненты вектора скорости w°, v°, w° направлены соответственно вдоль х°, у0, Z0.
В соответствии с обычными предположениями гиперзвуковой теории малых возмущений принимается, что величина
M00(t+ 6± аО) 2*0(1). (6.19)
Знак плюс в этом выражении соответствует нижней поверхности крыла, а знак минус — верхней. Предполагается также, что верхняя
5*
132
Гл. 6. ТОНКОЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ КРЫЛО
поверхность крыла не находится в аэродинамической тени, т. е. і + 6 > а0, и рассматриваются малые углы атаки а0 = ат, ще О*= а*= 1.
Проводя оценки параметров течения аналогично тому, как это сделано выше (5.5), (5.7), (5.9), можно показать, что при наличии угла атаки и выполнении условия (6.19) из-за малости плотности
Рис. 6.2
газа внутри пограничного слоя возникают сильные поперечные течения, и для крыльев малого удлинения (z0«\) во всех уравнениях пространственного пограничного слоя члены, содержащие производные по продольной координате, оказываются малыми [Дудим Г. H., 1980 а].
В этом случае уравнения пространственного пограничного слоя на тонком крыле в гиперзвуковом потоке также приводятся к безразмерному виду (6.6).
Для расчета распределения давления при отсутствии вязкого взаимодействия пограничного слоя и внешнего невязкого потока можно использовать, например, формулу «касательного клина» в форме, справедливой при M00(t + а) »1 [ Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962],
§ 6.3. Закон плоских поперечных сечений
Выше было показано, что система уравнений (6.6) описывает течение совершенного газа в пограничном слое на поверхности тонкого крыла, обтекаемого гиперзвуковым потоком при нулевом и малых углах атаки. Она включает в себя геометрический параметр Z0 — удлинение крыла и обладает определенной специфической структурой. При совершении предельного перехода Z0-*0 для крыльев об-
§ 6.3. ЗАКОН ПЛОСКИХ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
133
щей формы с dpidz = O(l) система уравнений трехмерного пограничного слоя вырождается в двумерную систему уравнений, описывающую течение в поперечном сечении (х = const) и содержащую в качестве параметра продольную координату [Дудин Г. H., Ней-ланд В. Я., 1976, 1977].
Этот результат составляет суть закона поперечных плоских сечений для трехмерного пограничного слоя: при гиперзвуковом обтекании тонких крыльев бесконечно малого удлинения с конечным градиентом давления в поперечном направлении система уравнений трехмерного пограничного слоя вырождается в систему, зависящую от двух переменных и описывающую течение в поперечном направлении, в которую продольная координата может входить как параметр.
При рассмотрении обтекания тел с относительной толщиной т ^Re01/4 в соответствии с условиями применимости «теории полос» [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962] выполнение предельного перехода z0-* 0 требует соблюдения условия t2/z§« 1, или Re~1/4«z0.
Кроме того, около передней кромки крыла, где при наличии максимума давления может «начинаться» пограничный слой, значения w малы при недостаточно больших dpi dz и приходится вводить локальное разложение, отличное от того, которое получается из (6.6) при z0-*0. Однако такое дополнительное разложение также подчиняется закону поперечных сечений, т. е. допускает решение, содержащее х как параметр в нулевом приближении. Все эти вопросы более подробно рассматриваются ниже в § 7.3.
