Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
127
торая в указанной системе координат примет вид
Э(рУ) , Э(р°у°) , Э(р°1р°> _ п дх° ду° dz° '
роио ^ + povo ^ + powo ^ += _LLo
ду0 u^-»
роио + povo + powo + = JL (uo
(6.2)
, dtf0
dtf0
эу> }¦* [Pr ay0
l-Pr 9(U02H-Iu02)
2Pr
dy»
+
где
p° + ц02 + ш02
Y-I p0 ' 2
Для тонких крыльев переменные, связанные с обтекаемой поверхностью, могут быть введены в следующем виде:
(*о, уо, z0) — (ДО, уО, Z0), уО = уО- 60(дО, 20). (6.3) Если ввести еще преобразование компонентов вектора скорости (ио, vo, Ш0) -* (Mo, vo f ^0), vo = vo _ tto _j? _ шо ф (6.4)
то замена переменных (6.3), (6.4) не меняет вида уравнений (6.2), если всюду вместо (v°, у0) написать (уО, уО).
В соответствии с обычными оценками для пограничного слоя в гиперзвуковом потоке [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962] и с учетом (5.9) вводятся безразмерные переменные, имеющие порядок единицы:
ро = P00O2P, ро = Рти1 в2р, НО = ulg/2, и* = unu9
vI = u„&Zq1v, u)O = u00w, = ц0ц, х° = Lx, (6.5)
yO=Z,oy, ZO = Lz0Z, oo=Lt6w, oo = LOO?, o = ^g,
60 — толщина пограничного слоя, 0 = x — для слабого и умеренного взаимодействия, в = 6 — для сильного взаимодействия. После перехода к переменным Дородницына
у
(х, у, Z) —> (х, X,z), X=Jp dy,
ЭХ. д\
(u,v,w)-*(u,v&,w), V6 = pv + w — + Z0U-
128
Ґл. 6. ТОНКОЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ КРЫЛО
и отбрасывания членов первого и более высокого порядка малости из (6.2) получается система уравнений
2O дх^ дХ^ dz U' du . du , du z0 dp t д ( t ди\
dW . dW . dW 1 dp , д ( dw\ fti ,ч
эх u'
zoM + vo їх+ юдГ"ах IP11LpFdI ^ эх JJ с граничными условиями (с учетом (5.6))
tt = va = m;=:0, ? = ?w при X = O, (6.7)
и-+1, зд—»0, g-*l при Х-^оо,
гДе S = ^Tf f + "2 + ^2» H=U- ы2- ш2)">.
Для определения толщины пограничного слоя необходимо
учесть, что X=Jp ofy, тогда J Jy = J —, а, следовательно, о о о р
OO
\ = ^\(g-u*-wi)d\. (6.8)
о
В гиперзвуковом пограничном слое внешняя граница определена в первом приближении точно, так как температура на внешней границе обращается в ноль, а плотность — в бесконечность [Bush W. В., 1966, Lee R. S., Cheng Н. К., 1969].
6.1.2. Внешняя область течения. Для решения системы уравнений (6.6) с граничными условиями (6.7) необходимо знать распределение давления, которое не задано и должно определяться в процессе решения краевой задачи совместно с уравнениями для внешнего течения. Согласно гиперзвуковой теории малых возмущений [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962, Черный Г. Г., 1959] для внешней области течения вводятся преобразования координат и разложения газодинамических переменных
х° = Lx, у0 = LBy, zO = LzOz, «o = ttoo (1 + і/Є* + ...), VO = M00BK + ..., w<> = U00 ^ + ..., P0 = P00Wt3B2P + ..., ро = pmR + ... (6.9)
§ 6.1. ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ КРЫЛО ПОД НУЛЕВЫМ УГЛОМ АТАКИ
129
Тогда в каждой плоскости z = const уравнения неразрывности и импульсов с относительной погрешностью 0(e2/z§) сводятся к уравнениям, аналогичным уравнениям одномерного неустановившегося течения газа,
На искомое решение накладываются граничные условия: на ударной волне при у = W(x, z)
(6.10)
у — 2 W Y+l dx
P =
Гі__!_І
Y+l(</*) 2YM2в2OTШ)2], ^6Л
R = l±l(x і 2 W
V-I ^ (v-DM2e2(rfW/(/jc)2J '
на границе пограничного слоя при у = 6е(х, z)
К-?. (6.12)
Отметим, что в рамках гиперзвуковой теории возмущение продольного компонента скорости имеет второй порядок малости, а поперечный и нормальный компоненты скорости равны своим возмущениям и имеют порядок малости 0(Q2Zz0) и О(0). Вследствие этого система уравнений для определения искомых возмущений расщепляется, и решение уравнения, определяющего поведение функции U, находится отдельно по известному решению краевой задачи (6.10)-(6.12). Поскольку нас интересуют решения задачи в главных членах разложения, то уравнение для U здесь не рассматривается.
Совместное решение систем уравнений (6.6) и (6.10) с соответствующими граничными условиями (6.7), (6.11), (6.12) позволяют получить точные решения в рамках гиперзвуковой теории малых возмущений и теории пограничного слоя.
При решении различных задач очень часто система уравнений (6.10) не используется, а заменяется приближенными соотношениями, которые связывают давление на внешней границе пограничного слоя с местным углом наклона поверхности «эффективного тела». Наиболее часто для расчета распределения давления исполь-
5 В. А. Башкин, Г. Н. Дудин
130
Гл. 6. ТОНКОЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ КРЫЛО
зуется формула «касательного клина» в ее простейшей форме, справедливой при M00G»!,
0 00 [ дХ J
или в безразмерном виде
При исследовании обтекания тонких крыльев на режимах слабого и умеренного взаимодействия (в = т) формула (6.13) принимает вид
а на режиме сильного взаимодействия (в = о)
Y+i Г , д&Л2
P = V[^ 17 + 17] • Х2 = ХГ!- (6.15)
Необходимо отметить, что формула (6.13) не только во многих случаях приводит к удовлетворительной точности [Черный Г. Г., 1959], но и позволяет получить те же точные решения для (6.6), что и гиперзвуковая теория малых возмущений при задании степенных распределений толщины крыла ow(x, z) [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962]. В этом случае, однако, необходимо множитель (7+1)/2 заменить на другой коэффициент, дающий, например, правильное распределение давления по плоскому степенному телу [Stewartson К., 1955 а, 1955 Ь].
