Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
В новых переменных имеем краевую задачу
•ыздЫ^Г'*. (81,)
= ?("^)+2о^[Г-«-2-(ш')2]х
2(2/-1)р'
1 df 2 дх\ дх\ \ дк\ J
_^[г_и.2_(ш1)2](^)2-^^,
p. = l+i J^2-F1)P"1 |л(2-Л)+2Э(1-л)2] +
+ Xi f\ +(2;-1)(1-F1)F3^]}2 (8.12)
§ 8.2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ КРЫЛЬЯХ
159
с граничными условиями
u' = wl = vl = 0, g* = g*w при T) = O, и0-+I9 wl-+O9 g*-+l при T)—> оо.
(8.13)
Здесь введены обозначения
F1 = 111(2J-I)1 F2 = і (A]-I)I(Ij-I)1
F3 = t (2J-Z)I(Zj-I)1 F4 = t (?-i)/(2y-D,
Для решения системы (8.11)-(8.13) необходимы условия на кромке и на линии симметрии крыла, когда задача решается от кромки до плоскости симметрии, либо условия на обеих кромках при г* = ± 1, если задача решается от одной кромки до другой. При наличии угла скольжения возможен только второй вариант.
8.2.2. Начальные условия для задачи Коши. На кромке крыла взаимодействие пограничного слоя и внешнего невязкого течения зависит не только от величины параметра взаимодействия X1, но и от параметра ?, который определяет форму кромки. Причем, согласно [Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., 1962], при ? ^ 3/4 взаимодействие — умеренное и сильное, а при ? < 3/4 — слабое.
Действительно, пусть на всем крыле параметр %i = 0(I)9 и необходимо выяснить, при каких значениях параметра ? взаимодействие на кромке будет также умеренным. Для этого необходимо, чтобы в (8.12) при t-+0 часть давления, определяемая толщиной крыла, была порядка давления, индуцируемого толщиной пограничного слоя. После подстановки Ае в уравнение (8.12) из условия, что в главных членах обе составляющие давления имеют одинаковый порядок, следует ? = 3/4. Тогда в окрестности передней кромки крыла имеет место разложение
ГДЄ = /(6/-5)/(4/-2).
После подстановки (8.14) в систему (8.11) и предельного перехода t-+0 получится система обыкновенных дифференциальных
\(0 = Дек'3/2 + -
±i|2??/-4 + ! (2/•-I)X1A6^5]2.
(8.14)
Причем
160
Гл. 8. КРЫЛЬЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
уравнений пограничного слоя на кромке крыла dvl ., (dwl , duA
(8.15)
[Vi-(Wi +z0u-UN1) =
[Vi-W + z0u-UN1]^ =
* - + z0u-UN^±{n{^-
с граничными условиями (8.13). Здесь введены обозначения:
N1 =
хЙ.; Лек~(х?)
1/3
при ?>^,
<23/4+ХіД„)2: Л" ~ (2^+XAi)2 ПРИ ? ~ 4'
при ?<|,
(Y+022P-1P2 -*1
*2 =
при ?*|,
_?-1_ з
(2p-l)(Y+Dp222^-D "РИ P<<
^=9(?5 С = /Сy^Lli) j (r - и.2_ (ш.)2)
8.2.3. Преобразование системы уравнений для случая умеренного и сильного взаимодействия на передних кромках. При рассмотрении обтекания треугольных крыльев или крыльев степенной формы поперечного сечения (7.9) с параметром ? > 3/4 вместо переменных (8.9), (8,10) удобно ввести для учета особенности поведения функций течения в окрестности передних кромок (Z= ±1) следующие переменные подобия [Дудин Г. Нм 1988 а]:
X- уJL VTT^ л. (8-16)
Де=(1-г2)3/4Д(2),
§ 8.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ 161
д„=(1-г2)3/4Д^ где z* = z1 и* = и, 10* = W.
Тогда система уравнений пограничного слоя (8.5), (8.6) при ш = 1 и граничные условия (8.7) в безразмерном виде с учетом (8.16) примут следующий вид:
5.(.-,^+1=* (ws_s_a). (8.,7)
(«,-V*)ifiii+vai=.0,
-$=1(,-.,-.4(. + !=*?)+^ ,
і a2g l-Pr а2(ц2+ш2)
Pr dn2 Pr dti2
P = 1T1 [l (1 + *2)At - z(\ - z2) +
2
+ X1 (I (1 + z2)A - z(l - z2) Щ , (8.18)
A = ?^jju-"2-">2) rfTb
w = ^ = t; = 0, g = gw при T) = O, (819)
и—*1, и;—*0, g—*1 при T]—> oo.
Следует отметить, что на кромках пластины (z = ±1) система (8.17)-(8.19) вырождается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и ее решение позволяет найти профили всех искомых функций в пограничном слое на передних кромках.
§ 8.3. Характеристики пограничного слоя в плоскости симметрии
Выше были выведены уравнения пограничного слоя на полубесконечном треугольном крыле степенной формы. В связи с этим представляет интерес исследовать поведение решения уравнений пограничного слоя в плоскости симметрии как самостоятельную задачу аналогично
/ =
G =
6 В. А. Башкин, Г. H. Дудин
162
Гл. 8. КРЫЛЬЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
тому, как это имеет место в классическом пограничном слое. Это предполагает, что течение вязкого газа описывается уравнениями (8.11)-(8.13) ив поле течения отсутствуют локальные зоны неприменимости уравнений пограничного слоя [Нейланд В. Я., 1974].
В окрестности плоскости симметрии треугольного крыла (t= I) имеют место разложения
Ч)-Ио(ч) + 0(А'2).
u>KU Л) = - <*>M)bt + 0(Д*3), vKU Л) = V0(T1)+ 0(Лґ2),
«•ач)-*о(ч) + о(А**), (8'20)
P*(t)=p0 + p2Afi+O(At<),
де(0 = лс0 + дс2д;* + о(д/4),
где At = 1 — t.
После подстановки разложений (8.20) в уравнения (8.11)-(8.13) для определения главных членов приходим к краевой задаче (частный случай со = 1)
dvo ^ w\ . V) au0 /о 21)
ал 220-Dp0 ^22/(2/-Dp0 (Zr1' V ' '
au0 __ d2uQ v-i z0 / _ 2ї V00 (/T1 " (Zt12 * Y 22/(2/-l)p0 Ubh
d«>\ ^2W1 Y-l P2 / _ 2Л _ f _ zo"o ^ ю1 V00 (/г, - ^^2 7 220-Dp2 u0) \wi 2j-\) 220-Dp0'
