Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
О
просверлено отверстие радиусом 2- R параллельно оси цилиндра.
Отверстие залито металлом, плотность которого в 5 раз больше плотности
вещества цилиндра. Цилиндр лежит на дощечке. Коэффициент трения между
цилиндром и дощечкой 0,3. На какой максимальный угол можно наклонить
дощечку, чтобы цилиндр находился на ней в равновесии?
4.34. Бревно радиусом г лежит на бревне радиусом R так, что оси бревен
перпендикулярны друг другу. При каком соотношении между радиусами бревен
их равновесие устойчивое? На какой максимальный угол можно отклонить
верхнее бревно без проскальзывания, если коэффициент трения между
бревнами равен р?
136
4.35. На полу лежит стержень массой М и длиной L. Какую минимальную
работу надо совершить, чтобы стержень повернуть на полу на угол а вокруг
одного из его концов? Коэффициент трения между стержнем и полом р. Какие
минимальные силы нужно приложить к концам стержня, чтобы вращать его на
полу с постоянной угловой скоростью вокруг середины стержня?
4.36. На идеально гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч массой М и
радиусом R. По обручу начинает ползти жук массой т. Какие траектории
описывают центр обруча и жук? На какое расстояние сместится жук
относительно своего начального положения, пройдя четвертую часть кольца?
Глава 5 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ОСНОВНЫЕ понятия, ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
1. Колебательным движением называют движение, при котором происходит
частичная или полная повторяемость состояния системы по времени. Если
значения физических величин, характеризующих данное колебательное
движение, повторяются через равные промежутки времени, колебания называют
периодическими.
Самым простым колебательным движением является гармоническое колебание
материальной точки. Гармоническим называют колебание, в процессе которого
величины, характеризующие движение (смещение, скорость, ускорение, сила и
т. д.), изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса
(гармоническому закону).
Основные законы гармонических колебаний материальной'точ-ки можно
установить, анализируя равномерное круговое движение точки и движение ее
проекции на оси прямоугольной системы координат Оху, коллинеарные двум
диаметрам окружности. Если точка В равномерно движется по окружности
радиусом хт со скоростью vm (рис. 5.1),'то ее проекция на горизонталь-
Рис. 5.1
137
ный диаметр-точка С совершает гармонические колебания
вдоль оси Ох. Проекция точки В на вертикальный диаметр совершает
гармонические колебания вдоль оси Оу.
Смещение точки С от начала отсчета движения О - ее координата х в
каждый - момент времени определяется уравнением
X = JCmCOS (ф + фо) ИЛИ X = XmCOs(<j)t + ф0), . (5.1)
где / - время, отсчитываемое от момента начала наблюдения за движением;
фо - угол, характеризующий положение точки в начальный момент времени (на
чертеже ф0 = О); хт - максимальное смещение точки; со - угловая скорость
вращения радиус-вектора точки В.
2. Проецируем вектор скорости vm и вектор нормального
ускорения а" на оси Ох и Оу. Для проекций vx и ах получим:
vx = - ymsin (at + фо);
ах - -a"cos (сat -j- ф0).
Поскольку vm = хта и a" = хта2, уравнения скорости и ускорения точки,
совершающей гармонические колебания, можно представить в виде:
vx = -*mcosin.(<"* + фо); (5.2)
ах - - xmw2cos (со* -f- фо) = - со2*. (5.3)
Знак "минус" в последней формуле указывает на то, что ускорение при
гармоническом колебании всегда направлено в сторону, противоположную
смещению. Эти же результаты мы получили бы, взяв первую и вторую
производную по времени от координаты колеблющейся точки (5.1).
Из формул (5.2) и (5.3) вытекает, что:
1) максимальные значения скорости и ускорения колеблющейся точки равны:
(5.2') (5.3')
2) скорость и ускорение сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол
л/2. Там, где скорость наибольшая, ускорение равно нулю, и наоборот;
3) во всех точках траектории ускорение направлено к центру колебаний -
точке О.
3. Согласно формуле (5.3), уравнение второго закона Ньютона для
материальной точки массой т, совершающей гармонические колебания вдоль
оси Ох, можно представить в виде:
Fx = тах - тхтco2cos (at + фо) = -та2х, (5.4)
где Fx- проекция равнодействующей всех сил, приложенных к точке.
Произведение та2, стоящее в правой части уравнения (5.4),- величина
постоянная, поэтому материальная точка может ссгвер-
X) т - ХтЪЬ.,
2.
СХт - Хт(х) \
138
шать гармонические колебания лишь при условии, что и процессе движения
сама возвращающая сила изменяется пропорционально смещению и направлена к
положению равновесия, т. е. когда
Fx=-kx. ¦ (5.5)
Здесь k - постоянный для данной системы коэффициент. В каждом конкретном
случае его можно выразить через величины, характеризующие колебательную
систему. Согласно формулам (5.4) и (5.5) коэффициент k в то же время
всегда равен:
k - ты2. (5.6)
Сила, изменяющаяся по закону (5.5), называется квазиупругой силой.
4. Кинетическая энергия гармонически колеблющейся точки равна:
mvl тх%а2 sin2 (at + ф0) ,r
