Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
нуль, вторая достигнет максимума. Скорость шара будет направлена вправо,
и при своем движении он начнет растягивать пружину. Так как поверхность
стола идеально гладкая и сопротивление воздуха ничтожно мало,
кинетическая энергия шара полностью перейдет в потенциальную энергию
деформации пружины и процесс начнет повторяться заново. Возвращающая сила
упругости, приложенная к шару, всюду будет при этом пропорциональна
смещению, и колебания шара будут гармоническими.
Чтобы определить амплитуду этих колебаний, нужно использовать закон
сохранения импульса для системы пуля - шар и закон сохранения энергии для
системы шар - пуля - пружина. Закон сохранения импульса позволяет
определить скорость щ, с которой начнет двигаться система после удара
пули. Пренебрегая, как обычно, смещением шара за время удара и учитывая,
что пуля застревает в нем, получим:
Для составления уравнения закона сохранения энергии А = = й^2 - W\
рассмотрим два состояния системы. За первое-состояние примем состояние
системы в момент окончания удара, когда деформации прекратились и шар
начал двигаться. Энергия пружины
mv о = (m + М) v\.
(1>
144
здесь была равна нулю, шар вместе с пулей обладал энергией
^ _ (т + М) у\
За второе состояние примем состояние системы в момент наибольшей
деформации пружины, когда смещение х шара достигло амплитудного значения
хт• Энергия системы здесь равна только потенциальной энергии сжатой
пружины
Внешние силы (реакция опоры N и сила тяжести, равная mg) йад системой шар
- пуля - пружина работу не совершают, поэтому /4=0 и по закону сохранения
энергии O-W2-W'i или
Для нахождения периода колебаний системы нужно составить уравнение
второго закона Ньютона для шара с. пулей.
Согласно (5.4) в процессе сжатия пружины должно быть
F=-(m + М)ы2х, ' (3)
где F-модуль силы упругости, со- круговая частота, равная
Силу F в данном примере можно выразить через жесткость пружины k и сжатие
х:
Соотношения (1) .- (5) полностью отражают явление, рассматриваемое в
задаче, и служат исходной системой уравнений для нахождения неизвестных
хт и Т.
Решая уравнения (1) и (2), получаем:
Пример 4. Математический маятник, состоящий из нити длиной /= 243 см и
стального шарика радиусом г = 2 см, совершает гармонические колебания с
амплитудой хт=10 см. Определите скорость шарика при прохождении им
положения равновесия и наибольшее значение равнодействующей всех сил,
действующих на шарик. Плотность стали q = 7,8 * 103 кг/м3.
kxj (m + Af) р? 2 - 2
(2)
(4)
F = - kx.
(5)
Из формул (3) - (5) находим:
145
Решение. К математическому маятнику применимы все уравнения гармонических
колебаний. Они дают возможность определить кинематические и динамические
характеристики движения маятника, причем в отличие от общего случая к
этим уравнениям добавляется формула периода колебаний математического
маятника, позволяющая найти круговую частоту, если известна его длина.
Исходя из условий задачи, можно сразу определить период и, следовательно,
круговую частоту колебаний маятника. Применяя формулу математического
маятника к колебаниям шарика, необходимо учесть, что входящая в нее длина
равна расстоянию / + г от точки подвеса-до центра тяжести колеблющегося
тела, поскольку в данном примере шарик можно рассматривать как
материальную точку. Кроме того, здесь a = g, так как точка подвеса
находится в равновесии:
-¦Щ-- (•)
Зная угловую частоту и амплитуду, легко найти скорость маятника при
прохождении им положения равновесия. В этом положении она имеет
максимальное значение, равное согласно формуле (5.2')
V т === Ч)Хт. (2)
Наибольшее значение возвращающая сила имеет в крайнем положении маятника,
где смещение становится равным амплитуде, а ускорение достигает
максимума:
Fm = тат~тхт со2. (3)
Массу колеблющегося шарика мы найдем, зная радиус и плотность материала:
m = Q~nr3. (4)
Решая уравнения (1) - (4) совместно относительно скорости и силы, после
подстановки числовых данных получим:
Ът = хтлП?-\ vm " 0,2 м/с; '¦ f"*0,l Н.
г * -Г Г Т г)
Пример 5: Маятниковые часы, выверенные при комнатной температуре, уходят
за сутки на At = 2 мин вследствие изменения длины маятника, вызванного
понижением температуры. Как нужно изменить длину маятника, чтобы часы шли
верно?
Р е ш е н и е..Из-за понижения температуры длина 1\ маятниковых часов,
выверенных при комнатной температуре, уменьшается и становится равной /2.
Период колебаний таких часов уменьшается, поскольку ускорение а остается
неизменным. За сутки - время t\ - эти часы сделают большее число
колебаний, чем точные часы, и, следовательно, будут спешить. Согласно
формуле
146
(5.9) показания маятниковых часов за сутки будут отличаться от показаний
точных часов на время
-At = 11
(1)
так как в данном случае а\ = a<i = go-
Чтобы часы шли точно, маятник часов нужно удлинить настолько, насколько
он уменьшился при охлаждении. Относительное изменение длины, которое нам
требуется определить, должно быть при этом равно (/) - /г)//2.
