Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
получить для каждого конкретного случая, внося соответствующую поправку в
формулу периода математического маятника (5.11).
Если маятник в том или ином направлении приобретает переносное ускорение
а", то причиной этому служит изменение силы
141
натяжения F" на некоторую величину AF", поскольку mg не меняется и на
маятник другие силы не действуют. Ускорение а, сообщаемое силой натяжения
нити, здесь равно сумме ускорений -g и а", сообщаемых силой F" и ее
приращением AFH, т. е.
а = - g + а".
Найдя обычными методами модуль этого ускорения и подставив его в
соотношение (5.11), мы получим формулу периода колебаний математического
маятника с.учетом движения точки подвеса.
Пример 1. Небольшой груз совершает колебания по закону х = 0,02sin я(t
0,5) (все величины выражены в единицах СИ). Определите амплитуду, период,
начальную фазу колебаний, а также максимальную скорость и ускорение
груза. Через сколько времени после начала движения груз будет проходить
через положение равновесия? За какое время после начала движения груз
проходит расстояние, равное половине амплитуды колебаний? Чему равна
средняя скорость движения груза на этом участке пути?
Решение. Сравнивая заданное уравнение с уравнением гармонических
колебаний (5.1), записанным в общем виде, легко заметить, что в нашем
примере х," = 0,02 м. Фаза колебаний равна:
Ф = л (/ + 0,5) = я/ + 0,5л, откуда следует, что угловая частота w = я с-
1, период
2~т
Т = -- = 2 с, а начальная фаза фо = 0,5я..
О)
Зная амплитуду колебаний и угловую частоту, можно найти максимальную
скорость и ускорение колеблющейся точки. Соглас-' но (5.2') и (5.3') они
будут равны:
vm - 0,02я м/с; ат - 0,02л2 м/с2.
Уравнение движения колеблющейся точки позволяет определить ее смещение в
любой момент времени и найти время, по истечении которого точка сместится
от положения равновесия на заданное расстояние. В момент прохождения
положения равновесия х = 0. Подставляя это значение в закон движения
точки, получим:
0 = 0,02 sin я {t -|- 0,5),
откуда я(^ + 0,5) = яя, где п= 1, 2, 3, ..., и, следовательно, промежутки
времени, спустя которые груз будет проходить положение равновесия,
определяются формулой
t = n - 0,5, где t измеряется в секундах.
142
Первый раз груз пройдет положение равновесия через время t - (l - 0,5) с
= 0,5 с(п = 1) после начала отсчета движения.
Чтобы найти время прохождения расстояния s, равного первой половине
амплитуды, нужно в законе движения груза положить х = хт - s = 0,5лгт =
0,01 м и решить уравнение относительно t. Делая такую подстановку,
находим 0,01 = = 0,02 sin л (t + 0,5), откуда n/3 = nt, и, следовательно,
искомое
время будет равно ti = 1/з с.
Средняя скорость vcp точки за это время по определению равна:
Уср =т?г== 0,03 м/с-
При мер 2. Шарик массой m = 20 г колеблется с периодом Т = 2 с. В
начальный момент времени шарик обладал энергией W = 0,01 Дж и находился
от положения равновесия на расстоянии Х\ - 2,5 см. Запишите уравнение
гармонического колебания и закон изменения возвращающей силы с течением
времени.
Решение. Законы изменения смещения и возвращающей силы можно записать,
если мы знаем амплитуду, круговую частоту, начальную фазу и массу
колеблющейся точки.
По условию задачи период колебаний нам известен, следовательно, круговая
частота
(1)
Кроме того, известна полная энергия колеблющейся точки, которая согласно
формуле (5.7) независимо от положения точки равна:
2 2 W = ~~2
Хщ (2)
Наконец, используя последнее условие задачи, можно записать
уравнение'движения для начального момента,,когда f = 0:
Х\ - xmcos ф0. • (3)
*
Из соотношений (1) - (3) находим:
и = л с
следовательно,
-I; Хт=- у ; хт " 0,32 м;
со V т
cos фо = - " 0,78,
Хщ
фо " 51° " 0,3л.
Подставляя найденные значения хт, со и фо в уравнения (5.1) и (5.4) и
проводя упрощения, получим (в единицах СИ) ответ.на вопрос задачи:
х = 0,32cos л (t + 0,3); F = 0,063cos л (t + 0,3).
143
a
Пример 3. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М,
прикрепленный к пружине с жесткостью k. В шар попадает пуля массой т,
имеющая в момент удара скорость vo, направленную вдоль оси пружины (рис.
5.2, а). Считая удар абсолютно неупругим и пренебрегая массой пружины и
сопротивлением воздуха, определите амплитуду и период колебаний шара.
Рис. 5.2
В
Решение. При соударении с шаром пуля сообщает ему кинетическую энергию,
вследствие чего шар приходит в дви-
жение и сжимает пружину. Пружина сжимается до тех пор, пока кинетическая
энергия полностью не перейдет в потенциальную энергию деформации. В этот
момент кинетическая энергия шара станет равной нулю, потенциальная
энергия пружины достигнет максимума, смещение шара от положения
равновесия станет равно амплитудному значению (рис. 5.2, б). Дальше
процесс пойдет в обратном порядке: форма пружины будет восстанавливаться,
ее потенциальная энергия станет уменьшаться, кинетическая энергия шара-
будет возрастать и в положении равновесия (в точке О) первая обратится в
