Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
В квантовой механике отдельные типы колебаний рассматриваются таким же путем, как и в классической физике. Энергии этих колебаний дискретны и равны (1/2 -(- га) А в соответствии с уравнением (6.18). Квантовые числа га(ш) можно рассматривать как числа „фононов" или звуковых квантов с энергией ш. Фононам приписывается импульс, равный chw, где с — скорость звука.
Произведение
UjUr exp [/R • (I — f')] (7.17)
равно нулю, если f ФI'. Если колебания рассматриваются как функции векторов решетки, то они должны обладать свойством ортогональности. Их можно в общем случае рассматривать как волновые функции фононов.
Так как имеют место два поперечных и один продольный типы колебаний, совместимых с каждым волновым вектором, то типы колебания, или состояния фонона, должны характеризоваться „спиновой переменной" S, которая может принимать три значения. Для упрощения записи эта спиновая переменная, где это возможно, опускается.
Несмотря на то что понятие фонона является не более чем образным выражением, оно все же полезно, позволяя объединить статистические теории газообразного и твердого состояний. Если обозначить энергию фонона через є, а число типов колебаний в бесконечно малой области вблизи є через to (є) dt, то поведение кристалла во многих отношениях можно изучать как свойства фононного газа.
Термодинамические величины кристаллического твердого тела в соответствии с этим будут равны сумме термодина- 78
ГЛАВА III
мических функций отдельных типов колебаний. В частности, свободная энергия будет равна
F = kT\xi(\ — e-*'kT)\w{z)dz, (7.18)
а по (6.20) молярная теплоемкость выражается в виде
OO ^
c^=kI Ш2 W^W(7-19)
и
Функция о)(е) должна подчиняться требованию
со
J w(e)de = 3N. (7.20)
и
Ввиду последнего условия правая часть равенства (7.19) при высокой температуре будет равна 3Nk для любой функции to (є). При низких температурах играют роль только небольшие значения энергий е, а для этих энергетических уровней кристалл можно рассматривать как идеальный фононный газ. Распределение однофононных состояний по импульсам идентично соответствующему распределению для материальных частиц, т. е. (AtzVJИ?1) р2 dp. Учитывая связь между импульсом и энергией, получим распределение по энергиям
"W*!=Wi^ (7-21)
вместо (6.16); в этой формуле множителем 3 учитываются три значения „спиновой переменной". Теплоемкость при постоянном объеме для низких температур по (7.21) и (7.19) будет равна
OO
Г —Ь ^%V(kTf ? 0х 4 .
^v — * (Щз J * ах-
Интеграл дает только численный множитель, так что теплоемкость пропорциональна кубу температуры. Чтобы вывести формулу для интерполяции между надежными значениями теплоемкости при высокой и низкой температуре, мы предположим, что выражение (7.21) справедливо ниже определенного предела энергии, тогда как за его пределами СТАТИСТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 79
(и(е) = 0. Этот предел выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие (7.20). В терминах „дебаевской температуры" 0, которая является эмпирической константой, характерной для данного твердого тела, предельную энергию можно выразить в виде kQjh. Кривая теплоемкости тогда будет иметь вид
в/г
Cv = QkN (!J J J-^irw X< dx. (7.22)
о
В этом выражении интеграл является функцией температуры и находится из таблиц или вычисляется численным интегрированием. Согласие этой формулы с измерениями лучше, чем можно было ожидать на основании предположений, сделанных при ее выводе.
Переходя теперь к переносу тепла в твердом теле, мы тотчас замечаем, что фононы, обладая свойствами волн, способны передавать энергию на любое расстояние независимо от градиента температуры. Такой перенос тепла скорее напоминает процесс излучения, чем процесс теплопроводности. Однако эксперимент с несомненностью показывает, что теплота передается через кристаллические твердые тела только при наличии неоднородности температуры.
В качестве предпосылки к возникновению стационарных градиентов температуры необходимо, чтобы фононы могли обмениваться энергией. Такой обмен возможен, если принять во внимание ангармонические члены (7.13) в выражении потенциальной энергии (7.11). Эти члены можно выразить в функции отдельных типов колебаний. Решая (7.14) относительно Гц и подставляя в (7.13), мы получим эту часть потенциальной энергии в виде ряда, в котором каждый член зависит от произведения трех типов колебаний:
Ф3= 2 2 b(f ... R ...) exp X
ИТ RR'R"
X (Mf • R + f • R' + V ¦ R"]) UfUrU,.. (7.23)
Тензоры третьего ранга Ь являются, по крайней мере в принципе, известными величинами.
Каждый член в уравнении (7.1.3) можно использовать для вычисления матричного элемента, определяющего в соответствии с (6.25) вероятность перехода между состояниями 80
ГЛАВА III
с двумя типами колебаний и состоянием с одним типом колебания или обратно. Процессы такого рода известны под названием трехфононных столкновений. Матричные элементы в общем случае обращаются в нуль, когда осуществляется суммирование по узлам рещетки, так как экспоненциальные функции меняют знак и сокращаются. Неисче-зающие матричные элементы соответствуют только таким процессам, в которых
