Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
где h — постоянная Планка, ah = А/2тс.
') Эта точка зрения автора представляется субъективной. Прим. перев.
dpj _ і dt ~ Ті
PjHl^f = JlHrj-TfH], — = JL [///(JV) _ /UV)tf],
(6.1)
(6.2) 58
ГЛАВА III
Здесь операторы р^ и Tj подчиняются правилу коммутации
PyrZ-rZPy = (jT)1-
Координаты и импульсы различных частиц всегда коммутативны. „Статистический оператор" fN< определяется таким образом, чтобы в любом матричном представлении диагональная сумма матричного произведения /(ЛГ)Л равнялась математическому ожиданию наблюдаемой величины А. Матричные компоненты f{N> обычно усредняются по их фазам. Нам нет необходимости' подробно рассматривать абстрактную алгебру операторов, так как мы будем пользоваться таким представлением /(ЛГ), в котором отчетливо выступает тесная связь операторного представления с классической статистической механикой.
Обозначим через <]>6(Г|.....Tjv, t) набор волновых функций системы; они могут, хотя это и не обязательно, соответствовать стационарным состояниям. В соответствии с принципами волновой механики волновые функции должны быть либо полностью симметричны, либо полностью антисимметричны по отношению к перестановкам частиц (соответственно „бозоны" и „фермионы").
Волновые функции зависят в общем случае от спиновых переменных, но на данном этапе эту зависимость можно не учитывать. С помощью волновых функций статистический оператор может быть представлен в виде
/(JV) (Pl.....р*. T1.....TifIt)=*
= .....rN ~~ SN) X
b
2і pn • sn -j-w-
X (г, + S1.....rN + sN) ехр —^g- ds„, (6.3)
п
где переменные s„ — приращения координатных векторов, а коэффициенты Cb—положительные постоянные, удовлетворяющие условию 2C6=I. В уравнении (6.3) символы р^ и Tj уже не операторы, а обычные величины, так что ?N> имеет вид функции распределения в фазовом пространстве. Она действительна и симметрична по отношению к переста- СТАТИСТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 59
новкам частиц. Принципиальная невозможность приписать положению и импульсу некоторой частицы одновременные числовые значения учитывается в функции /<ЛГ| тем, что ее знак различен в разных областях фазового пространства.
Математические ожидания любой функции динамических переменных вычисляются как средние значения, как если бы ?N> представляла собой функцию распределения вероятностей. Это можно показать, рассматривая сначала „проекции" /(ЛГ) на пространство координат или пространство импульсов, т. е. J /(ЛГ) dpn и J /<лг) drn. Они соответствуют
истинным функциям распределения вероятностей по координатам и импульсам соответственно и могут применяться для усреднения всех функций динамических переменных, которые не содержат некоммутирующих множителей.
Применение f{N) для вычисления средних значений динамических функций, зависящих от произведений некоммутирующих величин, следует из соответствия между классической
и квантовой механикой: если A (P1,____ p^, T1.....Tjv) —
функция классических динамических переменных, то соответствующий квантовомеханический оператор получается из интеграла Фурье
A (P1.....T1, ...) =
= / а(яі.....ялг. Pi.....Рлг) X
X exp (jtj • Pj -}- ... Pl . n -I- ...)] П dpn (б-4)
я
путем замены классических величин р^ и Tj под знаком интеграла квантовыми операторами. В этом случае оказывается, что среднее от квантовомеханической величины А, полученное обычным методом, согласуется со средним значением классической величины А, полученным путем усреднения с помощью функции распределения (6.3).
Это соответствие применимо также и к зависящим от времени величинам. Разложим классическую функцию времени в степенной ряд. Квантовомеханические операторы, соответствующие классическим коэффициентам разложения, вычисляются описанным выше методом. Если классическая 60
ГЛАВА III
функция времени удовлетворяет уравнениям движения, то это справедливо и для квантовомеханической функции времени, так как форма уравнений в обеих теориях одинакова. Статистическое среднее от функций времени можно соответственно получить с помощью функции распределения (6.3).
Приведенные функции распределения получаются из (6.3) так же, как и в классической теории.
В соответствии с распределением (6.3) уравнение Лиу-вилля в квантовой механике принимает вид
dt +2^ т dt) і
—idrAfilh-kTw **>
;=) \в-і /
где Ф — потенциальная энергия взаимодействия, а оператор 8/8гг (в отличие от d/drt) действует только на Ф, но не на ?N>. Дифференциальный оператор в правой части уравнения (6.5) можно при необходимости заменить интегральным оператором.
Интегралы по времени от уравнения (6.5) можно выразить через трансформационную функцию в фазовом пространстве К (г, г'):
/ш)(гг.....Pi.....* + =
= J К (T1.....P1. ...; г;.....р;, т)/<лг>Х
X(rx.....P1. ...; t)HdV)dT'h
Ядро этого интегрального уравнения симметрично и является решением уравнения (6.5), соответствующим определенным начальным условиям, выраженным через дельта-функции:
*,-0=П »(г,-W(P7-Pj).
Вывод теоремы вириала в квантовой механике почти аналогичен классическому выводу, приведенному в разд. 1.4, СТАТИСТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 61
