Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
2м(8)(»(е)) = ?, (7.3)
е
а полная сумма квантовых чисел равна числу частиц:
2<0(e)<»(e)) = W. (7.4)
Є
где
(»(»)>= S [»(•)]. (7-5)
я И
При учете последнего условия функция распределения должна отличаться от канонического распределения для гармонических осцилляторов и вместо этого будет иметь вид
л ('Не-') / V—
q\n(&)]=:e kT U — e^J. (7.6)
Средние квантовые числа будут равны
<«(*)> = ^ZT-. (7-7)
ект -1
или, если я(е) ограничены значениями 0 и 1,
я («Ни-«)
е кт .1 ^ [«(S)] = --— , <й(е)> =T-^i-. (7.8)
і+екТ е^+г
В этих выражениях jj. является параметром, зависящим от температуры и, возможно, от плотности, но не от s или п(г). Этот параметр определяется как химический потенциал газа.
В волновой модели газа мы полностью отказываемся от всех различий между индивидуальными частицами; ограничение квантовых чисел нулем и единицей справедливо для фермионов и является выражением принципа запрета (принципа Паули); неограниченный ряд квантовых чисел справедлив для бозонов.
Суммы в уравнениях (7.1) — (7.4) обычно (но не всегда) можно заменить интегралами. Функция состояния системы строго не вычисляется; термодинамические функции обычно 72
ГЛАВА III
выводятся из химического потенциала, который определяется по уравнению (7.4).
При высоких температурах и малых плотностях величина
имеет большое отрицательное значение; в этом случае членом tf 1 в знаменателе равенств (7.7) и (7.8) можно пренебречь и совокупность значений (га (є)) будет эквивалентна классической функции распределения для ансамбля из N не-> зависимых частиц.
При низких температурах и больших плотностях необходимо делать различие между бозонным и фермионным газами. В последнем случае [х должна изменить знак и приобрести положительное значение, для того чтобы удовлетворить уравнению (7.4). Тогда (га (є)) = 1 для є -< [х и (га (є)) = О для є > р.
Сферическая поверхность e = jx в пространстве импульсов носит название поверхности Ферми. Она может быть слегка волнистой под влиянием возмущений. Столкновения между частицами могут иметь место только вблизи поверхности, так как на большей глубине нет вакантных мест для возможных конечных состояний. Энергия в этом случае не зависит от температуры и пропорциональна некоторой степени плотности, а именно —р8/\ Теплоемкость при постоянном объеме будет пропорциональна первой степени абсолютной температуры, но коэффициент пропорциональности чрезвычайно мал, что ограничивает возможности ее наблюдения.
В бозонных газах при низкой температуре jx приближается к нулю, но не может изменять знак. Сумму в левой части равенства (7.4) уже нельзя заменить интегралом, ибо это привело бы к неразрешимости уравнения. Однако можно в явном виде выразить первый член суммы, а остальные члены заменить интегралом, после чего уравнение приобретет вид
_і»
1
в kT
«і в кТ — 1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 73
Здесь энергия основного состояния равна нулю по определению, a S1 — энергия первого возбужденного уровня. Температура перехода определится выражением
fl_ & ( P у«
2nmk V 2,612/и ) '
Если 7'>0, то второй член в (7.9) будет превосходить число, стоящее в правой части равенства, если не имеет места цяз—kT. В таком случае первым членом можно пренебречь. Если Г<Є, то второй член становится заметно меньше числа, стоящего в правой части, и первый член должен восполнить эту разность. Тогда (і sa — kT/N, что много меньше нижнего предела интегрирования (пропорционального (1 /N)2''). Когда температура становится ниже 0, повышение числа частиц приводит к заполнению основного состояния, тогда как функция распределения для остальных частиц сильно не меняется. Это явление известно под названием конденсации Бозе—Эйнштейна1) ввиду его сходства с обычной конденсацией паров. Давление не зависит от плотности в пределах конечной области изменения объема. Температурный коэффициент теплоемкости меняется скачком (переход третьего рода). Для гелия с молекулярным объемом 27,6 см3 температура перехода равна 3,1° К\
Если принять во внимание влияние слабого гравитационного поля при условии kQ mgV4', где g — ускорение силы тяжести, то распределение квантовых состояний для высоких энергий будет иметь вид
где
— h2 є°~ 8mV*
и
__( QmWg2 у/,1
I 32 ) •
') С эйнштейновской конденсацией в основном состоянии связано явление сверхтекучести жидкого Не II. Основы микроскопической теории сверхтекучести заложены Н. Н. Боголюбовым, CMj дополнительную литературу [69 — 71, 74].—Прим. перев. 74
ГЛАВА III
Тогда при температуре вблизи 0 будет иметь место переход второго рода, при котором удельная теплоемкость меняется скачком на
Следовательно, силовое поле влияет на характер скачка, связанного с конденсацией.
Статистическая квантовая механика идеальных газов была успешно применена к электронам в металлах и позволила объяснить отсутствие электронной теплоемкости, несмотря на наличие „свободных" электронов проводимости. Она даже с успехом была применена к электронам в простых атомах с учетом электрических сил. Явление конденсации Бозе-— Эйнштейна связано со скачкообразным изменением теплоемкости в жидком гелии с атомным весом 4, который является бозонным, тогда как изотоп с атомным весом 3, будучи фер-мионным, не обнаруживает перехода подобного рода.
