Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Айзеншиц Р. -> "Статистическая теория необратимых процессов" -> 25

Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.

Айзеншиц Р. Статистическая теория необратимых процессов — М.: Иностранной литературы, 1963. — 127 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticteoriyaneobratimihprocessov1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 38 >> Следующая


Рассмотрим сначала взвесь коллоидных частиц в жидкости, где частицы участвуют в случайном движении, которое со временем приводит к равномерному равновесному распределению по всему объему. Если принять во внимание тяготение, то равновесное распределение не будет равномерным (однородным), а будет зависеть от высоты согласно (2.1)

ть«г

f (X)= const • е kT , (8.1)

Где g — ускорение силы тяжести, a mb — масса частицы, исправленная на архимедову силу.

Движение частиц приводит к флуктуациям их концентрации. Обозначим через V' малый объем внутри жидкости, а через N' — число частиц в этом объеме. Число N' беспо- ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

87

рядочно флуктуирует. Распределение вероятностей этой величины дается формулой Пуассона (9.15). Среднее значение и средний квадрат отклонение N' соответственно имеют вид

(Nf) = N^-, {N'2)-(NfY = {N'). (8.2)

Если число N' наблюдать через равные промежутки времени достаточной длительности, то совместное распределение вероятностей N' (t) и N' it -(- т) будет равно произведению двух индивидуальных распределений. Средний квадрат разности будет равен

([N'(t + z)-N'(t)]*) = 2 (N'). (8.3)

Эти результаты являются следствием теории равновесия. В них не определяются промежутки времени, в течение которых появляются или снова исчезают отклонения от средней концентрации.

Временнйе эффекты выводятся из рассуждений другого рода. Обозначим через / (х, t)dx число частиц в плоском слое жидкости между X и x-\-dx. Пусть т; х) представляет собой распределение вероятностей для (положительных или отрицательных) смещений S1 которые появляются за время т и могут зависеть от х как от параметра. Функция W должна быть нормирована:

j wdi = \. (8.4)

Предполагается, что вероятности больших смещений незначительны. Помимо этого ограничения, выбор распределения вероятностей совершенно произволен.

Баланс частиц, заполняющих некоторый слой жидкости, определяется уравнением

= — /(*) + J р(х — Qwtf; т; x — 4)dl (8.5)

Два последних члена в правой части равны числу частиц, уходящих из объема и поступающих в объем в течение вре- 88

ГЛАВА VIII

мени т благодаря случайным смещениям. С помощью разложения

/(* — 0®(6; г, х-?) =

= /(*)« (5; т; *) —6 [/(*)«(?; г, *)] +

+ T*2 W г> *)!+ О«3)

уравнение (8.5) превращается в дифференциальное уравнение

*L — д Г(6> Л I 1 ^2 Г<€*> А гж»

в котором два коэффициента являются неизвестными. Один из них, (?)/*, определяется с помощью предположения, которое характерно для систем с диссипативными свойствами; предполагается, что в присутствии гравитационного поля средняя скорость частиц определяется по формуле Стокса

= (8.7)

T Oitija '

где Tj —вязкость жидкости, а а — радиус частицы. Среднее квадратичное смещение определяется подстановкой равновесного распределения (8.1) в уравнение (8.6); так как поток массы в случае равновесия равен нулю, мы получаем

sTl = ^ss2d- (8-8)

Последнее выражение не зависит от гравитационной силы. Поэтому уравнение (8.8) сохраняет справедливость при отсутствии этой силы или при ($) = 0.

Функция / пропорциональна распределению вероятностей для определенной частицы. Результаты таких рассуждений экспериментально проверяются посредством наблюдения за положением одной и той же частицы через равные промежутки времени т и вычисления по совокупности наблюдаемых смещений среднеквадратичного смещения. Таким путем Пер-рен сумел показать, что среднеквадратичное смещение частицы действительно пропорционально интервалу времени х между наблюдениями. ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

89

Посредством несколько утомительных рассуждений эти результаты можно обобщить таким образом, что они будут определять зависимость от времени флуктуаций концентрации. Вместо (8.3) можно получить

{[N'(t + x)-N'(t)]*) = V

= 2 N v

1



Полученные результаты допускают различную интерпретацию. При отсутствии поля сил имеем ($) = 0, так что

Этим уравнением определяется скорость диффузии, причем D — коэффициент диффузии. Перрен проверил это уравнение путем сравнения среднего квадратичного смещения для индивидуальной частицы с величиной D, полученной из диффузионных измерений. Зависимые от времени флуктуации в случае равновесия являются обратимыми, но тесно связаны с диффузией, которая необратима.

Флуктуации импульса взвешенных частиц вычисляются аналогичным методом. Обозначая компоненту линейного импульса через р, найдем

(/А = -*!,

* ' /и т т. г

Lmi = U^akT.

Следует обратить внимание на тот факт, что эти соотношения согласуются с равенствами (3-.21) и (3.22), если бтстг)а обозначить через Ь. И действительно, уравнения Фоккера — Планка и Смолуховского впервые были сформулированы в связи с теорией броуновского движения. Уравнение, аналогичное (3.23), определяет функцию распределения по импульсам.

Эти же вопросы можно рассмотреть, применяя другой формализм, разработанный Ланжевеном. Уравнение движения частицы при этом записывается в виде

% P +FQ). (8.11) 90

ГЛАВА VIII

где диссипативные свойства системы явно выражены первым членом в правой части; второй член представляет собой случайную силу, выраженную только через статистические величины. Так как F, по крайней мере формально, является функцией времени, ее можно представить в виде интеграла Фурье.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 38 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed