Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
52
ГЛАВА III
кому течению. Это уравнение допускает решение, которое является произведением функции от г+ на функцию от г_. С коэффициентом вязкости связан только второй множитель. Записывая г вместо г_ и F вместо F_, мы получим уравнение для определения функции распределения в относительных координатах
^ +7? +і (F-Vw) = (^)W-а т. (6.8)
Из этого уравнения следует, что относительное движение пары молекул в вязком потоке носит характер вынужденной диффузии, наложенной на свободное диффузионное движение, возникающее из-за наличия скорости дрейфа, которая поддерживается за счет внешних воздействий.
Для того чтобы найти независимое от времени решение уравнения (5.8), положим, что аху = а, а другие компоненты а равны нулю. Тогда правая часть уравнения (5.8) в функции полярных углов 0 и ср приобретет следующий вид:
abmFr . 0 0
Sini t> cos ср sin ср.
В этом случае уравнение (5.8) удовлетворяется функцией
W = аи (г) sin2 0 cos ср sin ср, (5.9)
так как оператор в левой части сохраняет вид угловой функции. Неизвестная функция и (г) определяется дифференциальным уравнением
Коэффициент вязкости получается в виде
ехр ^Jp-) «(/¦) к (г) Г3 Sin5 O COS2 ср Sin2 ср dr db rfcp,
(5.11)
где U выражено как функция ^= уКr2 — ri)!> а
L от V =2 г)
Нам остается получить функцию а (г) путем решения уравнения (5.10). Легко убедиться, что оно допускает част-
N р С
7I=-MJ ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ
53
ное решение 1/2bm(rjkT)2, которое не зависит от вида функции F (г). В общее решение дифференциального уравнения входят две постоянные интегрирования. Для определения этих постоянных необходимо принять, что функция и (г) стремится к нулю на бесконечности; в противном случае нарушение равновесного распределения будет возрастать с увеличением расстояния между молекулами.
Необходимо также другое условие; на первый взгляд имеет смысл потребовать, чтобы и (0) = 0, так как в противном случае и будет на бесконечно малых расстояниях стремиться к бесконечности как I/г3. Однако при выполнении этого условия функция и (г) будет исчезать на больших расстояниях пропорционально 1 /г3 (проверка этого не сложна, и мы ее опускаем), приводя в конечном итоге к сильной анизотропии потока, что неправдоподобно.
С другой стороны, соображения, по которым и (Q) не может достигать бесконечности, не являются категорическими, если интеграл (5.11) остается конечным. В соответствии с этим мы постулируем, что нарушение равновесного рас* пределения на больших межмолекулярных расстояниях стремится к нулю на один порядок быстрее, чем отрицательная третья степень расстояния, т. е.
Iim гги (г) = 0. (5.12)
ГOO
Этим условием однозначно определяется решение уравнения (5.10). Функция и(0) достигает бесконечности, а вычисленная вязкость остается конечной.
Так как условие (5.12) необычного рода, то нам доставляет удовлетворение тот факт, что оно подкрепляется математическими доводами: если, сохраняя члены порядка 1 /Ь2, мы заменим уравнение (5.5) соответствующим уравнением четвертого порядка, то условие (5.12) по-прежнему определит однозначное решение, из которого можно получить конечное значение вязкости; альтернативное же условие и (0) = 0 приводит к неопределенности, так как оно совместимо с различными решениями.
Уравнение (5.10) можно проинтегрировать обычными численными методами. Точность результата зависит от той точности, с которой известна функция F (г). 54
ГЛАВА III
Даже не выполняя точного интегрирования, можно показать, что функция и (г) имеет тенденцию достигать больших значений в областях высокой потенциальной энергии. Это приводит к значительному нарушению равновесного распределения, уменьшающемуся с ростом температуры. Так возникает температурная зависимость вязкости, которая может быть выражена экспоненциальной формулой Андраде. Однако для температурной зависимости до сих пор не удалось вывести какое-либо простое выражение.
Все специфические свойства функции распределения являются прямым следствием граничного условия (5.12) и не были бы получены, если бы мы применили альтернативное условие. Физическое истолкование функции распределения этого типа может быть получено путем обычных рассуждений: в вязком потоке молекулы должны протискиваться между соседними молекулами, преодолевая силы отталкивания; положения с высокой потенциальной энергией, которые в случае равновесия мало населены, приобретают в соответствии с этим в вязком потоке необычно высокую вероятность.
С помощью этой теории вязкости оказалось возможным объяснить многие неясные до того вопросы, но в отношении количественных результатов до сих пор достигнуто мало. Однако можно показать, что теория объясняет наблюдаемое различие в температурной зависимости вязкости и теплопрс водности.
Однородные градиенты температуры и плотности можно представить в трехмерном пространстве, пользуясь соотношениями
7W0(1+ а-г),
p = p0(I-At), (5лз)
где постоянные а и А связаны друг с другом условием постоянства давления, которое, однако, не имеет столь простого вида, как в случае газов. Поток энергии определяется выражением
