Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теплопроводность жидкостей привлекла меньше внимания, чем вязкость. Гретц [22] отметил, что температурная зависимость у этих двух коэффициентов переноса взаимно противоположна по знаку и что теплопроводность не сильно зависит от температуры. В этом отношении жидкости заметно отличаются от газов, для которых коэффициенты вязкости и теплопроводности взаимно пропорциональны. ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ 49
Отсутствие каких-либо твердо установленных общих принципов в теории необратимых процессов дает почву для различных необоснованных спекуляций в истолковании коэффициентов переноса в жидкостях. В дальнейшем мы покажем, что последовательное применение понятий, разработанных в разд. 3.3, дает нам по крайней мере основу для рациональной теории.
В первую очередь можно отметить, что поток импульса и энергии в жидкостях в основном связан со вторыми членами в правых частях уравнений (1.11) и (1.13). Это является следствием плотной упаковки молекул; первые члены, преобладающие в случае газов, играют довольно незначительную роль в явлениях переноса в жидкостях.
5.2. Распределение по координатам
Функцию распределения, характерную для случая вязкого течения и теплопроводности, можно вывести из уравнения Фоккера — Планка, пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, которые применялись в разд. 4.1. Так как интересующий нас поток импульса или энергии существенно зависит от координат (говоря точнее, от относительных координат пары частиц), необходимо вывести распределение вероятностей по координатам, а не по импульсам.
Бинарная функция распределения по координатам была определена равенством (1.8). Ее можно выразить либо.как функцию координат T1 и г2, либо, по уравнению (3.24), как функцию от г+ и г_; последнее выражение предпочтительнее. Кроме функции распределения, определим следующие два вектора потока:
где р+ и р_ определяются по (3.5) и (3.6).
Теперь умножим уравнение (3.31) на dp_ и проинтегрируем по импульсам, причем последними двумя членами уравнения здесь и в дальнейшем будем пренебрегать. В ре-
4 зак. use-
(5.1)
(5.2) 50
ГЛАВА III
зультате получим уравнение непрерывности для двух молекул
-1.-(^)-J- о-«
+
в которое входят три неизвестные функции: j+ и }_.
Для определения необходимы дополнительные уравнения; мы их получим, умножая уравнение (3.31) последовательно на VsPt dp dp и на '/2Р_ dp dp . Интегрирование приводит к соотношению, зависящему от векторов потока и новых неизвестных функций, появляющихся в результате усреднения квадратов и перекрестных произведений компонент импульсов. Эти средние квадратичные мы заменим их равновесными значениями, которые нам известны. С помощью такого искусственного приема мы получим следующие уравнения:
U-I
J-=I
J_\IkTgW /-І2.\ Xn V-V
dr. Jl-5Г
В этих уравнениях тензоры трения, определенные по (3.30), заменены скалярными постоянными Ь, которые, однако, не идентичны с постоянными Ь, определенными по (3.20). Если постоянная трения достаточно велика, то производными по времени в (5.4), которые пропорциональны 1 Ib2, можно пренебречь. Можно показать, что ошибка, допущенная при замене средних квадратичных значений равновесными, также имеет порядок l/b2.
Подставляя (5.4) в (5.3), получим дифференциальное уравнение для gW, в которое в качестве независимых переменных входят только координаты и время, в то время как импульсы полностью исключаются. Это уравнение, известное под названием уравнения Смолуховского, имеет вид
= JL. Г_±_ [bL _ SE=I м2,1 і
dt dr. Ldr_ \ т ^ ) bm ° Jn^
+?•[?(?«")]+<>(*)• м
Точность может быть повышена путем сохранения всех членов, пропорциональных Ijb2t и пренебрежения членами ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ 51
порядка 0(\/b3). С помощью довольно громоздких выкладок можно показать, что в этом случае уравнение (5.4) заменяется уравнением четвертого порядка. В дальнейшем эти уравнения нами не используются, а нарушение равновесного распределения определяется с помощью уравнения Смолуховского.
Уравнение (5.4) удовлетворяется функцией равновесного распределения, которая может быть записана в виде
г-) =v(r+)i^Vехр(— Тт) • V = f g&dr_.
Здесь U(r_; Т) — эффективная потенциальная энергия, зависящая от относительных координат и от температуры, как от параметра; величина v пропорциональна локальной плотности и в случае равновесия постоянна. В неравновесном случае можно положить
(5.7)
где W — малая поправка к функции распределения. Кроме случая W — О, не существует не зависящих от времени решений уравнения (5.6). Как и в теории газов, из (5.5) получаются уравнения, которые отличаются только членами, содержащими скорость сдвига и градиент температуры во второй степени, и допускают не зависящие от времени решения, характеризующие стационарные неравновесные распределения.
5.3. Коэффициенты переноса
В теории вязкого течения к правой части уравнения (5.5) добавляются члены, связанные со скоростью дрейфа,
где 1J2SL — скорость сдвига. Выражая функцию распределения в виде (5.7) и пренебрегая членами с квадратами и более высокими степенями а и произведениями а на w, мы получим неоднородное дифференциальное уравнение, определяющее распределение, соответствующее стационарному вяз-
